5.8 常系数非齐次线性微分方程

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1、15.8常系数非齐次线性微分方程小结思考题作业非齐次第5章微分方程2方程对应齐次方程通解结构难点方法二阶常系数非齐次线性如何求非齐次方程特解?待定系数法.3求导代入原方程设非齐次方程特解为特征方程4综上讨论设非齐次方程特解为注上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数).不是特征方程根是特征方程的单根是特征方程的二重根特征方程5解对应齐次方程通解特征方程特征根例(1)求对应齐次方程的通解(2)求非齐次方程的特解此题其中?所以6代入方程,得原方程通解为对应齐次方程通解所以7二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为练习考研数学一,4分设对应齐次方程通解

2、特征方程特征根(1)求对应齐次方程的通解(2)求非齐次方程的特解解代入方程,得原方程通解为8提示根椐线性微分方程的性质,可先求方程和的特解,两个解的和就是原方程的特解.特解.考研数学一,3分9解对应齐次方程通解特征方程特征根(1)求对应齐次方程的通解此题例考研数学(一,二,三)8分二阶常系数线性非齐次方程的切线重合,求函数y的解析表达式.10(2)求非齐次方程的特解解得所以(3)求原方程的特解即特征根原方程通解为(求函数y的解析表达式)将点(0,1)的坐标代入通解,得11由题意,得即联立将之代入通解得所以,函数y的解析表达式为12若二阶常系数线性齐次微分方程的

3、通解为练习考研数学一,填空,4分所以,故特征根的解为设特解为解所以,所求则非齐次方程满足条件特征方程微分方程为得特解得所以,13欧拉公式14欧拉公式所以,m次多项式,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.注15解例(1)求对应齐次方程特征根其通解这是二阶常系数非齐次线性方程.且特征方程的通解16(2)求非齐次方程故设代入方程,比较系数.得这里特征根非齐次方程特解为是特征根.原方程通解为的特解.17考研(数学一,二,三)7分解两端再对x求导,得积分方程微分方程积分方程即即这是二阶常系数非齐次线性方程.练习其中f为连续函数,求f(x).18即即初始条件初始

4、条件19其通解(1)对应齐次方程特征方程特征根(2)设原方程的特解为解得则方程的通解为由初始条件,得所以,初始条件是特征根.20练习考研数学二,4分微分方程的特解形式可设为特征根特征方程解21例求物体的运动规律.解齐次方程在第5.6节“二阶线性微分方程举例”的若设物体只受弹性恢复力f和铅直干扰力例子中,问题归结为求解无阻尼强迫振动方程令的通解为22非齐次特解形式为因此原方程(※)的通解为代入(※)可得于是自由振动强迫振动23当干扰力的角频率p≈固有频率k时,自由振动强迫振动非齐次方程特解形式代入(※)可得方程(※)的解为24与k尽量靠近,随着t的增大,强迫振动

5、的振幅这就发生所谓共振现象.可无若要避免共振现象,应使干扰力的角频率p自由振动强迫振动对机械来说,共振可能如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,机的调频放大即是利用共振原理.远离固有频率k;反之,若要利用共振现象,应使p或使引起破坏作用,如收音限增大,25三、小结待定系数法26思考题考研(数学一,二)5分解对应齐次方程通解特征方程特征根(1)求对应齐次方程的通解此题其中(0次多项式),(二重)其中a为实数.27(2)求非齐次方程的特解且所以,原方程通解为◆特征根不是特征根.代入方程,设特解得28所以,原方程通解为◆特征根是二重特

6、征根.代入方程,得(二重)29综上所述,30作业习题5.8(193页)