常系数非齐次线性微分方程(III)

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1、二阶常系数非齐次线性方程通解结构一、型求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.—待定系数法：非齐次方程特解对应齐次方程的通解？设非齐方程特解为代入原方程综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例2例3.求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应

2、齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得于是所求解为解得练习：写出下列方程的特解形式特解形式可设为:其中，上述结论也可推广到高阶方程的情形.二阶常系数非齐次线性方程根，或是特征方程的单根依次取0或1.k按不是特征方程的利用欧拉公式推导:例4.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解例5.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为例6.求方程的通解例4.的一个特解.例7.解:

3、(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:解对应齐方通解作辅助方程代入上式所求非齐方程特解为原方程通解为（取虚部）例4解对应齐方通解作辅助方程代入辅助方程例5所求非齐方程特解为原方程通解为（取实部）注意解对应齐方通解用常数变易法求非齐方程通解原方程通解为例4三、小结(待定系数法)三、小结(待定系数法)只含上式一项解法：作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解.思考题写出微分方程的待定特解的形式.思考题

4、解答设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）练习题练习题答案