常系数非齐次线性微分方程(II)

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1、常系数非齐次线性微分方程第八节一、二、二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法一、为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,从而得到特解形式为为m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解例1.的一个特解.解:本题

2、而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为例2.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为例3.求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得于是所求解为解得二、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点第一步利用欧拉公式将f(x)变形第二步求如下两方程的特解是特征方程的k重根(k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有

3、特解:第三步求原方程的特解利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程均为m次多项式.第四步分析因均为m次实多项式.本质上为实函数,小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的k重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.例4.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:例5.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为

4、特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为