10-动态电路的复频域分析

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1、10动态电路的复频域分析罗明1本章知识要点：※拉普拉斯变换的定义及性质;※利用部分分式法求拉普拉斯反变换;※运算电路与运算法;※动态电路的拉普拉斯变换分析;※网络函数;※网络函数的零极点分布与时域响应;2为什么要引入拉普拉斯变换？（1）对一般的二阶或二阶以上的电路，建立微分方程困难。（2）确定微分方程所需要的初始条件，以及确定微分方程解中的积分常数也很烦琐。（3）动态电路的分析方法无法与电阻性电路和正弦稳态电路的分析统一起来。用拉普拉斯变换分析动态电路（也称为运算法），可以完全解决上述问题。所以，运算法是研究动态电路的最有效方法之一。3小资

2、料：拉普拉斯，十九世纪法国著名数学家、天文学家，被誉为法国的牛顿。他的著作有：《宇宙体系论》、《分析概率论》、《天体力学》等。410.1拉普拉斯变换10.1.1拉普拉斯变换的定义1.拉普拉斯变换定义式中：为复数称为的象函数称为的原函数(10-1)记为：=(10-2)52.拉普拉斯反变换定义记为：=其原函数和象函数都是一一对应的，简记为：(10-3)6例10.1求下列函数的拉普拉斯变换。(a)单位冲激函数；(b)单位阶跃函数；(c)指数函数。解(a)单位冲激函数的拉普拉斯变换式中,所以(b)单位阶跃函数的拉普拉斯变换所以7(c)指数函数的拉普

3、拉斯变换所以令实数，则令虚数，则810.1.2拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质当和对任何实的或复的常数、，有(10-4)9例10.2求下列函数的拉普拉斯变换。(a)余弦函数；(b)正弦函数。解(a)余弦函数应用线性性质(b)正弦函数应用线性性质（欧拉公式）（欧拉公式）102.延迟性质若，则的拉普拉斯变换为上式就是拉普拉斯变换的延迟性质。它表明，一个函数延迟时间后的象函数等于这个函数的象函数乘以(10-5)11例10.3求下列函数的拉普拉斯变换。(a)延迟的冲激函数；(b)矩形波。解(a)已知应用延迟性质(b)已知应用线性和延迟性质123.

4、微分性质若，则有上式就是拉普拉斯变换的微分性质。(10-6)例10.4求如图10-1(a)所示波形的拉普拉斯变换。图10-1例10.4电路图13解波形的表达式为其导数为由(1)图10-1例10.4电路图（续）(1)而（2）（2）144.积分性质若，则有上式就是拉普拉斯变换的积分性质。(10-7)例10.5利用积分性质求的拉普拉斯变换。解已知所以155.频移性质上式就是拉普拉斯变换的频移性质。它表明，一个函数乘以后的象函数等于将该函数的象函数中的s换成。若，则的拉普拉斯变换为(10-8)16例10.6利用频移性质求下列原函数的拉普拉斯变换。(

5、a);(b)。解(a)已知应用频移性质(b)已知应用频移性质17根据拉普拉斯变换的定义和基本性质，可以方便地求得一些常用的时间函数的拉普拉斯变换。一些常用函数的拉普拉斯变换如表10-1所示。表10-1一些常用函数的拉普拉斯变换表象函数F(s)原函数f(t)t>0象函数F(s)原函数f(t)t>0AAA/sAAtsin(t)cos(t)1810.2利用部分分式法求拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换的最简单方法是从拉普拉斯变换表中查出原函数。但是一般表中给出的是有限的一些常用的拉普拉斯变换对。拉普拉斯反变换可以用(10-3)式求得，但这是一个复变

6、函数的积分，计算通常是困难的。所幸集中参数电路中响应的拉普拉斯变换一般是s的有理分式。当象函数为s的有理分式时，求拉普拉斯反变换可以用代数方法进行。其中、均为实数。若，则可通过长除法分解为有理多项式与有理真分式之和，即(10-10)(10-9)设有理分式19对于有理真分式，可以用部分分式展开法（或称展开定理）将其表示为许多简单分式之和的形式，而这些简单项的反变换容易得到。部分分式法简单易行，避免了应用式(10-3)计算复变函数的积分问题。现分几种情况讨论。10.2.1单实根情况若分母多项式的n个单实根分别为、、，按照代数学的知识，则可以展

7、开成下列简单的部分分式之和(10-11)式中，、、为待定系数。这些系数可按下述方法确定。(10-12)20故原函数为(10-14)由于(10-13)例10.7已知象函数,求原函数。解将分母因式分解，可知分母多项式有三个单实根:,,。故可展开为其中各系数为21所以，原函数为10.2.2多重根情况设在有三重根，例如(10-15)则进行分解时，与有关的分式要有三项，即(10-16)（续前）22式中，、为待定系数。这些系数可按下述方法确定。将上式两边乘以得(10-17)令，代入上式，则就分离出来，即(10-18)(10-19)再对式(10-17)

8、两边对s求导一次，得(10-20)再令，代入上式，则就分离出来，即23(10-21)原函数为(10-22)由以上对三重根讨论的结果，可以推导出具有n重根的情况。当分母多项式为时，