第04章 多元回归分析1

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1、多元线性回归分析程建华Thursday,September30,2021安徽大学经济学院计量经济学讲义多元线性回归分析包含多个解释变量的回归模型，称为多元回归。多元是指有多种因素对因变量的影响。多元回归模型需要回答一下问题：如何估计多元回归模型？多元回归模型的估计过程与一元回归模型有何不同？多元回归模型的假设检验与一元回归模型有何不同？多元回归模型有没有在一元回归模型中没有遇到的特殊问题？既然一个多元回归模型能够包含多个解释变量，那么如何决定解释变量的个数？4.1最简单的多元线性回归分析总体多元线性回归方程:随机形式:其中

2、，Y＝因变量，X2、X3＝解释变量；u＝随机扰动项B1＝截距，表示了当X2、X3为零时Y的平均值；B2、B3＝偏回归系数。(4.1)(4.2)问题：消费与收入之间的线性回归模型C=a+b*Y，其中回归系数a和b在《西方经济学》的含义？4.1最简单的多元线性回归分析随机形式:任何一个Y值可以表示成为两部分之和：（1）系统成分或确定性成分B1＋B2X2＋B3X3，即Y的均值；（2）非系统成分或随机成分u，由X2、X3为以外的其他因素决定。4.1最简单的多元线性回归分析随机形式:偏回归系数的含义：（1）B2度量了在X3保持不变的

3、情况下，X2变动引起Y均值E(Y)的改变量。（2）B3度量了在X2保持不变的情况下，X3变动引起Y均值E(Y)的改变量。假定1回归模型参数是线性的，但不一定是变量线性的，回归模型形式如下：4.2多元线性回归模型的若干假定假定2解释变量X2、X3与扰动误差项u不相关。如果X是非随机的，则该假定自然满足。假定3给定X，扰动误差项u的数学期望或均值为0，即E（u）＝0。XY0＋u－u＋u＋u－u－u4.2多元线性回归模型的若干假定假定4误差扰动项u的方差为常数，即Var（u）＝σ2，称之为同方差(homoscedasticity

4、)XY0＋u－u＋u＋u－u－uXY0＋u－u＋u＋u－u－u同方差(homoscedasticity)异方差(heteroscedasticity)4.2多元线性回归模型的若干假定假定5无自相关假定，即两个误差项之间不相关。Cov（ui,uj）=0（i<>j）正相关负相关不相关ujuiujuiujui4.2多元线性回归模型的若干假定假定6解释变量X2、X3之间不存在完全共线性，即两个解释变量之间无确切的线性关系。所谓的完全共线性是指一个变量可由另一个变量线性表示，如X2=3+4X3。不存在完全共线性，也即是两变量之间不能

5、相互线性表示。4.2多元线性回归模型的若干假定假定7在总体回归函数中，误差项u服从均值为0，方差为σ2的正态分布。即u～N(0，σ2)4.2多元线性回归模型的若干假定要求OLS估计量，与PRF相应的样本回归函数SRF为：其中e为残差项，简称残差，b是总体系数B的估计量。b1是B1的估计量，b2是B2的估计量，b3是B3的估计量。4.3多元线性回归参数的确定(4.3)(4.4)(4.5)最小二乘法基本数学要求：4.3多元线性回归参数的确定(4.6)求偏导数，得线性方程组：4.3多元线性回归参数的确定其中小写字母表示变量与其均

6、值离差。(4.7)(4.8)(4.9)4.4OLS估计量的方差与标准误计算标准误的目的：（1）建立真实参数的置信区间；（2）检验统计假设。(4.10)(4.11)4.4OLS估计量的方差与标准误计算标准误的目的：（1）建立真实参数的置信区间；（2）检验统计假设。(4.12)(4.13)4.4OLS估计量的方差与标准误计算标准误的目的：（1）建立真实参数的置信区间；（2）检验统计假设。(4.14)(4.15)4.4OLS估计量的方差与标准误在所有上述这些表达式中，σ2表示总体误差项u的方差，这个未知方差的OLS估计量是：(4

7、.16)4.5估计多元回归的拟合优度－多元判定系数R2在一元回归模型中，判定系数r2度量了样本回归直线SRL的拟合优度，即r2给出了单个解释变量X对因变量Y变动的解释比例或解释百分比。同理，在多元回归模型中，用多元判定系数度量X2和X3对因变量Y变动的联合解释比例，用R2表示，在含义上与r2类似。TSS＝ESS＋RSS(4.17)其中，TSS＝因变量Y的总平方和；ESS＝回归平方和；RSS＝残差平方和。4.5估计多元回归的拟合优度－多元判定系数R2与一元线性回归模型类似，定义下式：(4.18)即R2是解释平方和与总平方和的

8、比值。与一元回归模型唯一不同的是，现在的ESS与多个解释变量相关。可以证明：(4.19)(4.20)(4.21)4.6多元回归的假设检验虽然R2度量了估计回归直线的拟合优度，但是R2本身却不能判定估计的回归系数是否是统计显著的，即是否显著不为零。有的回归系数可能是显著的，有些可能不是。如何判断呢？与一元