高数第二章导数与-微分重点与-习题

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1、高数第二章导数与微分知识点总结第一节导数1．基本概念（1）定义注：可导必连续，连续不一定可导.注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.（2）左、右导数..存在.（3）导数的几何应用曲线在点处的切线方程：.法线方程：.2．基本公式（1）（2）（3）（特例）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（153．函数的求导法则（1）四则运算的求导法则（2）复合函数求导法则--链式法则设，则的导数为：.例5求函数的导数.（3）反函数的求导法则设的反函数为，两者均可导，且，则.（4）

2、隐函数求导设函数由方程所确定，求的方法有两种：直接求导法和公式法.（5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数4．高阶导数二阶以上的导数为高阶导数.常用的高阶求导公式：（1）特别地，（2）（3）（4）（5）（6）莱布尼茨公式：，其中第二节微分1．定义背景：函数的增量.定义：如果函数的增量可表示为，其中是与无关的常数，则称函数在点可微，并且称为的微分，记作，则.注：2．可导与可微的关系一元函数在点可微，微分为函数在可导，且.3．微分的几何意义4．微分的计算（1）基本微分公式.（2）微分运算法则②四则运算法则②一阶

3、微分形式不变若为自变量，；若为中间变量，，，.练习题1、求下列函数的导数。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2、求下列隐函数的导数。（1）；（2）已知求。3、求参数方程所确定函数的一阶导数与二阶导数。4、求下列函数的高阶导数。（1）求；（2）求。5、求下列函数的微分。（1）；（2）。6、求双曲线，在点处的切线方程与法线方程。7、用定义求，其中并讨论导函数的连续性。答案：1、（1）解：。（2）解：。（3）解：。（4）解：。（5）解：。（6）解：。2、（1）解：两边直接关于求导得。（2）解：将代入原方程

4、解得原方程两边直接关于求导得，上方程两边关于再次求导得将，代入上边第一个方程得，将，代入上边第二个方程得。3、解：；；。4、（1）解：；；……依此类推。（2）解：设则，代入萊布尼茨公式，得。5、（1）解：.（2）解：；。6、解：首先把点代入方程左边得，即点是切点。对双曲线用隐函数求导得过点的切线的斜率为故过点的切线方程为；过点的法线方程为。7、解：同理；故。显然在点连续，因此只需考查在点的连续性即可。但已知在点不连续，由连续函数的四则运算性质知在点不连续。讨论习题：1、设求。2、求和。3、设函数在上有定义，且满足

5、证明存在，且。讨论习题参考答案：1、解：因为易知在开区间内都是可导的；又对于分段点，，有，，即；，，即不存在；所以除之外在区间內均可导，且有2、解：因为，，；3、证：由可知当时，，即。又；已知，由两边夹定理可得。思考题：1、若在不可导，在可导，且，则在处（）（1）必可导，（2）必不可导，（3）不一定可导。2、设连续，且，求。思考题参考答案：1、解：正确选择是（3）例如：在处不可导；若取在处可导，则在处不可导；即（1）不正确。又若取在处可导，则有在处可导。即（2）也不正确。1、解：因为可导，所以又因为不一定存在，故

6、用定义求，第三组：潘柏华王涛罗宇生陈珂晔黄强