高数微分 导数习题册

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1、习题课一、导数的定义二、求导法则三、微分与应用四、中值定理五、泰勒公式六、洛必达法则一、本章要点七、曲线形态的讨论八、函数的最大值与最小值九、曲率一、导数的定义1.导数左导右导函数可导左导=右导.可导与连续的关系:函数在一点可导，则在该点必连续.导数的几何意义:函数在一点的导数为函数曲线在该点的切线斜率.由此得到曲线的切线方程及法线方程:切线:法线:2.求导法则设为可导函数，则反函数的求导法则设函数为的反函数，直接函数在区间上连续、单调，可导且其导函数则复合函数的导数设函数均为可导函数，则函数为可导函数，且对于具有更多中间变量的复合函数，则相应的求导法则为：3.高阶导数若函数阶可导，则递归定义

2、阶导数的Lebnize公式设为两个阶可导的函数，则函数也阶可导，且有4.隐函数的导数设函数由方程确定，在一定的条件下，可以求出函数的导数。但要注意的是，该函数一般情况下，仍然以隐式方程的形式给出.由隐函数求导法，得到对数求导法.5.由参数方程确定的函数的导数设函数由参数方程确定，且当时，则可确定为的函数(或为的函数)，相应的导数为若令则由此方法，可得到更高阶的导数.三、微分1.微分的定义若函数的增量具有表达式则函数可微，相应的微分为2.可微的条件函数在点处可微的充要条件是在点可导，且有3.微分应用：近似计算公式要注意的是这两种近似计算在使用上的差别.四、中值定理1.罗尔定理定理设且则存在使得x

3、yoabCy=f(x)AB注罗尔定理主要应用于讨论导函数的零点.2.拉格朗日中值定理设则存在使得y=(x)xyoy=f(x)ab3.柯西中值定理设那么至少存在一点，使得五、泰勒公式定理如果函数在含的某个开区间内具有直到阶导数，则对于，有带有Peano型余项的泰勒展开式定理如果函数在含有的开区间内有阶连续导数，则对于有六、洛必达法则基本类型变型法则：注1.只有当等式右边的极限存在时，才能使用该法则:2.在求极限过程中，可能要多次使用该法则:3.在使用过程中，要进行适当的简化.七、曲线形态的讨论：1.单调性若函数的导函数且在任何一个有限区间内最多只有有限多个零点，则单调上升；若函数的导函数且

4、在任何一个有限区间内最多只有有限多个零点，则单调下降.2.凹凸性若函数在区间内满足：则称函数为凸函数，相应的曲线为下凸的:若函数在区间上满足:则称函数为凹函数，相应的曲线为上凸的.xyx1x2oxyox1x2凸函数与下凸曲线凹函数与上凸曲线凹凸函数的判定方法:⑴若函数的导函数单调上升，则是凸函数；若函数的导函数单调下降，则是凹函数；⑵若函数二阶可导，且则，是凸函数；若则是凹函数.若函数的图形在点的两侧有不同的凹凸性，则称该点为图形的拐点.xoy3.极值若函数在点满足：存在的邻域当有则为的极大值;若则为的极小值.xyox1x2x3x4x5极值存在的条件⑴若函数在点处取得极值，且存在，则⑵设函数在

5、处连续，若函数的导数在点的两侧有不同的符号，则为的极值。若由，则为极大值；若由，则为极小值.xyo为极大值由x0为极小值由x0xyoxyo为极大值由x0⑶若函数在点处满足：则为的极值。若则为极小值；若则为极大值.设记最大值和最小值分别为再记的零点和不可导点为则4.最大值和最小值的求法5.渐进线的求法.⑴水平渐进线若函数满足则，函数的曲线有水平渐进线⑵垂直渐进线若函数满足则，函数的曲线有垂直渐进线⑶斜渐进线设函数满足：则，函数有斜渐进线八、曲率设函数则函数曲线在点处的曲率为:若曲线由参数方程确定，则相应的曲率计算公式为当曲率不为零，相应的曲率半径为例1设求解当时当时当二、例题选讲即：不存在。例2

6、设且存在，求解因存在，故在处连续，所以又因存在，所以例3设在的某个邻域内有定义，又讨论下列函数在的可导性:⑴⑵解⑴设则即：⑵设则故极限存在的充分必要条件为此时例4设且，证明证令则故∵∴例5可导函数的图形与相切于原点，试求解由条件得例6证明可导的周期函数的导函数为周期函数。再设的导函数为，则证设为周期函数，为其周期，即即：为周期函数。例7设求解1因解2因故，例8设求解例9曲线上哪一点的切线与直线平行，并求过该点的切线与法线方程.解设切点为，斜率为故切线方程与法线方程分别为：例10试求垂直于直线且与曲线相切的直线方程.解设切线的斜率为切点为因切线与已知直线垂直，得又由得从而切点为故切线方程为例11

7、设其中为多项式函数，为的两个相邻单根.证明:⑴⑵使得证由条件知：若则存在使得从而这和条件是矛盾的。又由罗尔定理，知使得例12设为可导函数，求解例13设由确定，求解两边取对数得:两边对求导，得即:所以：两边继续求导，得将上式代入并整理后得：例14设求解∴即：例15求由参数方程所确定的函数的二阶导数解例16求由三叶玫瑰线在对应处的切线方程.解将极坐标转化为参数方程：则当时，切线斜率故，切线方程为例17