1-1第一节 映射与函数

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1、(函数与极限)第一章函数与极限第一节映射与函数一、集合1、概念具有某种特定性质的事物的总体;组成这个集合的事物称为该集合的元素.元素a属于集合M,元素a不属于集合M,记作记作2、集合的表示法列举法描述法３、集合间的关系例1数集N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集它们间关系:例2不含任何元素的集合称为空集，记作例如,规定空集为任何集合的子集.4、运算设A、B是两集合,则交“AB”{xxA且xB}并“AB”{xxA或xB}差“A－B”{xxA但xB}补（余）I－A（其中I为全集）.５、其运算律（1）A

2、B=BAAB=BA（2）(AB)C=A(BC)(AB)=A(BC)（3）(AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)（4）注:A与B的直积AB{(x,y)xA且yB}例如：RR={(x,y)xR且yR}表示xoy面上全体点的集合RR常记为R22、区间是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个称为开区间,实数叫做区间的端点.称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间：区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3、邻域记作注意：邻域总是开集。设X,Y是两个非空

3、集合,如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射.二、映射1、概念记作f：X→Y.其中y称为元素x(在映射f下)的像，记作f(x)，即y=f(x)元素x称为元素y(在映射f下)的原像集合X称为映射f的定义域,记作Df,即Df=XX中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作Rf或f(X)，即对应法则f,使对每个x∈X,有唯一确定的y=f(x)与之对应.注:1。构成映射的三个要素:集合X,即定义域Df=X;集合Y,即值域的范围:RfY;但定义域一定等于集合X.XYxyfRfx22。对每个x∈

4、X,元素x的像是唯一的;而对每个y∈Rf,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域Rf是Y的一个子集,即RfY,不一定Rf=Y.显然，f是一个映射，f的定义域Df=R值域Rf={y

5、y≥0},它是R的一个真子集.对于Rf中的元素y,除y=0外,它的原像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2，x=-2两个.例4设X={(x,y)

6、x2+y2=1},Y={(x,0)

7、

8、x

9、≤1}，f:X→Y,对每个(x,y)∈X，值域Rf=Y.例3设f:R→R,对每个x∈R,f(x)=x2.在几何上,这个映射表示把平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1,1]上

10、.设f是从集合X到集合Y的映射,若Rf=Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射;若对X中任意两个不同元素x1≠x2它们的像f(x1)≠f(x2)，则称f为X到Y的单射(或“如果f(x1)=f(x2)，就有x1=x2)；若映射f既是单射，又是满射，则称f为一一映射(或双射).定义例5的映射不是单射,是满射.(Y[-1,1]表示满射,X:(x=0,y=1)→Y:(0,0)X:(x=0,y=-1)→Y:(0,0))；例4中的映射，既非满射(y=-2，不是X中的某元素的像)，又非单射(x1=2,x2=-2,它们的像相等).从非空集X到数

11、集Y的映射称为X上的泛函.映射又称算子，在不同的数学分支中，有不同的惯用名称：从实数集X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数.从非空集X到它自身的映射又称为X上的变换.设f是X到Y的单射,则对每个y∈Rf,有唯一的x∈X适合f(x)=y,定义一个新的映射g:Rf→X，对每个y∈Rf,规定g(y)=x,这x满足f(x)=y.2.逆映射与复合映射1）逆映射这个映射g称为f的逆映射,记作f-1.定义域Df-1=Rf,值域Rf-1=X因为从X→Y对Y要求唯一的,而Y→X又是唯一的,故只有单射.注：只有单射才存在逆映射.2）复合映射设有两个映射g:X→Y1,f:Y

12、2→Z(Y1Y2)则由g和f可确定了一个从X到Z的映射,它将每个x∈X映成f[g(x)]∈Z,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作f·g,即f·g:X→Z(f·g)(x)=f[g(x)],x∈Xf·g有意义并不表示g·f也有意义.即使f·g与g·f都有意义,复合映射g·f和f·g也不一定相同.注1。映射g和f构成复合映射的条件:g的值域Rg必须包含在f的定义域内,即RgDf.否则,不能构成复合映射.2。映射g和f的复合是有顺序的：证明:充分性(由条件推出结果)设f是X→Y的双射.在Y上任一元素y必定存在唯一的x∈X,使y=f(x).(1)从Y→X的映射

13、f–1:Y→X.(2)例5f是X到Y上可逆映射的充分