高等数学同济六版上册1-1映射与函数

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1、高等数学------同济六版上册前言：一、学习高等数学的重要意义3.数学带给人美的享受（严谨美，和谐美，对称美，奇异美，）二、数学、初等数学、高等数学1.数学：研究“数”和“形”的科学2.初等数学：17世纪以前的数学。研究的“数”是常数或常量；研究的“形”是孤立的，不变的，规则的几何形体。(又称为常量数学)3.高等数学：17世纪以后的数学。研究的“数”是变数或变量；研究的“形”是连续的，变化的，不规则的几何形体。（又称为变量数学）三、高等数学主要内容♦函数、极限、连续♦一元函数微分学♦一元函数积分学♦常微分方程♦向量代数与空间解析几何♦多元函

2、数微分学♦多元函数积分学♦无穷级数四、怎样学习高等数学五、具体要求：六、参考书:1.重视每一节课.2.独立完成作业《微积分》同济大学编高等教育出版社《高等数学辅导》陈文灯主编七、课时安排考核形式：平时作业、考勤和期末考试；结构：①平时作业：10%；②考勤：10%；③期末考试：80%；八、考核成绩总课时：180学时；90学时+90学时第一章数学分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限一、集合第一节映射与函数二、映射三、函数一、集合1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集例如数集

3、的补充规定：中排除0的集中排除0和负数的集常用数集:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.1）、基本运算：并集：由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，记作A∪B。交集：由即属于A又属于B的元素组成的集合，记作A∩B。差集：所有属于A而不属于B的元素组成的集合，记作AB补集：称集合I为全集，称IA为A的余集或补集。直积（笛卡尔乘积）：特例:记为平面上的全体点集。2、集合的运算交换律：A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；结合律：（A∪B）∪C

4、＝A∪（B∪C），分配律：（A∪B）∩C＝（A∩C）∪（B∩C），对偶律：（A∪B）C＝AC∩BC，（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；（A∩B）C＝AC∪BC；2）、集合的并、交、补运算满足下列法则：（A∩B）∪C＝（A∪C）∩（B∪C）；3.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.（1）有限区间：（2）无限区间：区间长度:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.注：以后在不需要辨明所论区间是否包含端点，以及是有限区间还是无限区间的场合，我们就简单的称它为“区间”，且常用I表示.4.邻域:二、映射f1.映射的概念设

5、X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则f,使得对X中的每个元素x，按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射。记作定义：元素y称为元素x在映射f下的像,记作元素x称为元素y在映射f下的原像.XxYy1、构成映射必备的三要素：2、元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.③对应法则f是对每个x∈X，有唯一确定的y=f(x)与之对应。②值域范围DfY;①定义域Df=X；注意：对映射若,则称f为满射;若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.满射：单射：X(数集或点集)在不同数学分支中有不同的惯用X(

6、≠)Y(数集)f称为X上的泛函X(≠)Xf称为X上的变换Rf称为定义在X上的为函数映射又称为算子.名称.例如,说明:1）、逆映射的定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为f的逆映射.2、逆映射与复合映射定义：设有两个映射其中，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个映成显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作即：2）、复合映射三、函数的概念因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域1、函数概念定义域与对应法则.说明：当两个函数的定

7、义域及对应法则均相同时，则这两个函数相同，否则就是不同的.(1)函数的两要素:(2)定义域及其求法：有实际背景的函数要考虑实际意义；对于抽象地用算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.（自然定义域）练习&作业：P21，4、15练习&作业：P21，5M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1)．函数的有界性:3、函数的性质说明：(3)当一个函数有界时，界不唯一；(1)函数有界与否与X有关，是局部概念；(2)函数有界的充分必要条件是既有上界又有下界，表现在函数图像在两平行线之间。但最小上界和最大下

8、界是唯一的；本部分练习&作业：P42，6、72)．函数的单调性:定义：设函数f(x)的定义域为D，区间如果对于区间I上任意两点及当时，恒有则称函数f(x)在区间I上