(哈工大)数学物理方程复习1

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1、一些典型方程和定解条件的推导要求：1）正确理解偏微分方程定解条件、定解问题、初始条件、边界条件等基本概念。2）弄清三类典型方程对各自初始条件、边界条件的要求。3）基本方程的建立（推导过程）不要求。但是根据问题的描述，要会写出定解问题。一些典型方程和定解条件的推导（I）要求：1）正确理解偏微分方程定解条件、定解问题、初始条件、边界条件等基本概念。基本概念微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.偏微分方程:未知函数为多元函数的微分方程

2、偏微分方程:未知函数为多元函数的微分方程例如都是偏微分方程,方程中，未知函数的偏导的最高阶数称为偏微分方程的阶。是二阶偏微分方程，是一个三阶偏微分方程.例如，方程而方程如果一个偏微分方程对于未知函数及其所有偏导数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量（或者为常数），则称为线性偏微分方程。一个偏微分方程若不是线性的，则称为非线性偏微分方程。例如，方程是一个二阶线性偏微分方程，都是非线性偏微分方程。而方程n个自变量的二阶线性偏微分方程,一般形式为可假设，这里和都是关于自变量的实值函数。如果，则称方程

3、为齐次的；否则就称为非齐次的。本书主要研究对象：方程的通解求解常微分方程时，常用方法是先求出方程的通解,然后根据给定的条件确定特解.其中n阶常微分方程的通解依赖于n个常数,它可以表示成n个线性无关函数的线性组合。然而对偏微分方程来说，这样的结论一般不成立，这是由于每一个线性齐次偏微分方程的解空间都是无限维的函数空间。例：考虑二阶方程：解：分别对x和y积分，可以知道方程的解形如：其中，g(x)和h(y)都是任意可微函数。方程(3)有无限多个线性无关的解。一般来说，偏微分方程的解很难用通解的形式给出。而在应

4、用问题中，重要的不是求出方程的通解，而是求出满足给定条件的方程特解。描述某系统或过程边界状况的约束条件称为边界条件.只附加边界条件的定解问题称为边值问题.描述某系统或某过程初始状况的条件称为初始条件。只附加初值条件的定解问题称为初值问题（Cauchy问题）包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题(初边值问题)初值条件、边界条件统称为定解条件.初值问题、边值问题、混合问题统称为定解问题.一些典型方程和定解条件的推导（II）要求：2）弄清三类典型方程对各自初始条件、边界条件的要求。1）正确理解偏微分方程

5、定解条件、定解问题、初始条件、边界条件等基本概念。弦的强迫横振动方程：弦的自由横振动方程：波方程均匀杆的纵向振动问题：以u(x,t)表示杆上各点的纵向位移，则u(x,t)满足波方程。二维波动方程（例如薄膜振动）和三维波动方程（例如电磁波和声波的传播）：热方程三维齐次热传导方程三维非齐次热传导方程若物体内部有热源u(x,y,z,t)：物体在空间位置x以及时刻t的温度。Laplace方程,泊松方程稳定的热场有源的稳定热场第一类边界条件直接给出u在边界S上的值，即第二类边界条件是给出u沿S的外法线方向的方向导

6、数，即第三类边界条件是给出u以及的线性组合在边界的值，即弦振动问题：若弦的两端是固定的，边界条件为若弦的两端按照规律运动,边界条件为热传导问题：若物体边界上的温度为f(M,t)，边界条件为第一类边界条件第二类边界条件弦振动问题：弦的一端（如x=l）可以在垂直x轴的直线上自由上下滑动，称这种端点为“自由端”。热传导问题：物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的流速始终为0，热传导问题：若f(M)表示t=0时物体内一点M的温度，则热传导问题的初始条件为泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态的，与时间无关，

7、所以不提初始条件。弦振动问题：设初始位移、初始速度为,则波动方程的初值条件为初始条件初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非系统中个别点的初始状态。不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。注意：一些典型方程和定解条件的推导（III）要求：3）基本方程的建立（推导过程）不要求。但是根据问题的描述，要会写出定解问题。1）正确理解偏微分方程定解条件、定解问题、初始条件、边界条件等基本概念。2）弄清三类典型方程对各自初始条件、边界条件的要求。假设弦在x=0端按照规律运动，在x=l端自由，初始位移、初始速度为，

8、弦振动满足的定解问题为：例：叠加原理设L是线性微分算子，若满足线性方程（或线性定解条件）则它们的线性组合必满足方程（或定解条件）分离变量法掌握有界弦振动和有限长杆上热传导问题的分离变量解法；掌握矩形域和圆域内拉普拉斯方程的分离变量法解法；会使用特征函数法解非齐次方程的定解问题会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边界条件的定解问题。要求：分离变量法（I）掌握有界弦振动和有限长杆上热传导问题的分离变量解法；要求：解：令引入参数得例：两端自由的杆的自