浙江大学99-06年研究生数学分析试题

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1、浙江大学1999年研究生数学分析试题一．求极限二．在平面上求一点，使它到三条直线及的距离平方和最小三．计算二重积分，其中由曲线所围城的区域四．设在时连续，，并且，，试求函数五．设函数连续，若有数列使，则对A，B之间的任意数，可找到数列，使得六．设，证明不等式七．设函数在，试证明：并利用上述等式证明下式八．从调和级数中去掉所有在分母的十进表示中含数码9的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）(1)求极限(2)设二．（共10分）1．设2．在上连续，在内存在，试证明存在，使得三．（共15分）1．

2、求数项级数的和2．试证明在上的连续函数四．（共15分）1．设方程组，确定了可微函数，试求2．设，求五．（共30分）1．计算定积分2．求以曲面为顶，以平面为底，以柱面为侧面的曲顶柱体的体积3．设表示半球面的上侧，求第二类曲面积分六．（共20分）1．将函数展开成级数2．求级数的和3．计算广义积分浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）(1)求极限解：原式=(2)设解：，这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛，以下求解就按照这个数列来进行即可。二．（共10分）1．设证：2．在上连续，在内存在，试证明存在，使得分析：考虑函数即可三．（共

3、15分）1．求数项级数的和分析：S=2S-S2．试证明在上的连续函数四．（共15分）设方程组，确定了可微函数，试求分析：用隐函数组的方法求解；设，求分析：五．（共30分）计算定积分分析：令t=cosx，I=0。求以曲面为顶，以平面为底，以柱面为侧面的曲顶柱体的体积分析：，其中，D={(x,y)

4、}.设表示半球面的上侧，求第二类曲面积分分析：使用高斯公式，则J=.六．（共20分）1．将函数展开成级数分析：直接使用的定义公式；级数的和分析：使用幂函数中的公式求解；计算广义积分分析：原式=+=[+]浙江大学二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题一、

5、（共30％）（A）（10％）用“语言”证明；（B）（10％）给出一个一元函数，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之；（C）（10％）设为二元函数，在附近有定义，试讨论“在处可微”与“在附近关于、的偏导数都存在”之间的关系，必要时，请给出反例。二、（共30％）（A）（5％）设，数列由如下递推公式定义：，，，，，，求证：。（B）（5％）求。（C）（5％）求，，，，，，（当时）。（D）（5％）求不定积分。（E）（5％）证明：在上连续可微。三、（共20％）（A）（10％）求第一型曲面积分，其中。（B）（10％）设、、为三个实数，证明：方程的根

6、不超过三个。四、（共20％）设，求证：（A）（10％）对任意自然数，方程在内有且仅有一个正根；（B）（10％）设是的根，则。浙江大学2003年研究生数学分析试题1．（15分）叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之。2．（15分）设在上一致连续，在上连续，且。证明：在上一致连续。3．（15分）设在上有二阶连续导数，且，当时。证明：在内，方程有且只有一个实根。4．（20分）设连续，，且（常数），求，并讨论在处的连续性。5．（10分）定义为，证明：。6．（10分）给出Riemann积分的定义，并确定实数的范围使下列极限收敛。7．（20分

7、）证明：1）函数项级数在上一致收敛，但是对任意非绝对收敛；2）函数项级数对任意都绝对收敛，但在上非一致收敛。8．（45分）计算1）（15分）；2）（15分），其中为平面曲线所围成的有界闭区域。3）（15分），其中2003年浙江大学数学分析试题答案一、当时，证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列，，所以，二、当时，，当时，对上述当时，且当时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以时，当时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在时，，取即可。三、由得所以递减，又，所以，且，所以必有零点，又递减，所以有且仅有一个零点。四、，，，在连续。五

8、、当时，不妨设，=当时，====六、J是实数，当时，当时，，当时，该积分收敛。七、有界，在上单调一致趋于零，由狄利克雷判别法知，在上一致收敛，与同敛散，所以发散；当时，绝对收敛，当时，绝对收敛；，所以不一致收敛八、1.，当时，2.,3.J=浙江大学二〇〇四年攻读硕士研究生入学考试试题一．（15分）设函数在区间上有定义。试证明：在上一致连续的充要条件是对区间上任意的两数列与，当时，有。二．（15分）设函数在区间内具有直到三阶的连续导数，且，。试证明：绝对收敛。三．（15分）设函数在区间上可微，且在点的左导数，在点的右导数，。证明：在内至少有两

9、个零点。四.（15分）设函数在区间上Riemann可积，且。试证明：存在闭区间使得当时，。五.（15分）证明：若一族开区间覆盖了闭区间，则必存在一正数，使得中任何两点满足时，必属