浙江大学2006年数学分析试题

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1、浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题考试科目：数学分析科目代号：427注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。希望对大家有用！浙江大学2005数学分析1．计算定积分：解：1．假设f(x)在[0,1]Rieman可积，，求解：利用可积的定义和Taylor展开作2．设a,b,c是实数，b>-1,c≠0,试确定a,b,c，使得解：不断利用L’Hospital法则3．f(x)在[a,b]上连续，对于，求证：证明：利用实数系的几个定理就可以了

2、5．(1)设f(x)在[a,+∞]上连续，且收敛，证明：存在数列，使得满足，(2)设f(x)在[a,+∞]上连续，f(x)≥0,且收敛，问：是否必有，为什么？证明：（1）此题也可以用反证法来解决，也非常简单。（2）不是，构造一个锯齿形的函数1．设f(x)在[0,+∞]具有二阶连续导数，且已知和都是有限数，求证：证明：（1）根据Taylor展开：（1）由题1的结论：7．设f(x)在任何有限区间上Rieman可积，且收敛，证明：证明：分成两段，然后把它化成级数来考虑，做的有点麻烦。8．（1）将arctanx展开为

3、幂级数，并求他的收敛半径（2）利用（1）证明：（2）利用（2）的公式，近似计算的值，需要用多少项求和，误差不会超过？解：（1）（2）将x=1代入（3）利用Taylor展开的余项9．设U(x,y)是R2/{0,0}上C2径向函数，即存在一元函数f，u(x,y)=f(r),r=，若满足如下的方程：，求f满足的方程及函数u(x,y)解：我对复变函数学的不多，只能看出u(x,y)应该是调和函数，应该可以找到一个共轭的调和函数，然后接下来是不是可以继续作我就不是很了解了。10．（1）设f是R1的C1，周期为L的函数（L

4、>0）。且,l利用f的Fourior级数展开证明：，当且仅当存在常数，使得（2）设是R2上具有C1光滑的连通区域。设是的面积，则其中（3）同上，是的边界长度，利用（1）（2）证明：，当且仅当时圆盘等号成立。证明：（1）（2）（3）本题的证明是从陈纪修老师的《数学分析（下册）》P.432的定理16.3.7找到的我觉得这道题目的难点是把l2表达出来，开始，我直接用了极坐标的方法来做，结果在一个不等号出出现了问题。他做了一次参数方程，在变换到弧度制，巧妙的把l2的问题解决了。浙江大学二〇〇四年攻读硕士研究生入学考试

5、试题考试科目：数学分析一．（15分）设函数在区间上有定义。试证明：在上一致连续的充要条件是对区间上任意的两数列与，当时，有。二．（15分）设函数在区间内具有直到三阶的连续导数，且，。试证明：绝对收敛。三．（15分）设函数在区间上可微，且在点的左导数，在点的右导数，。证明：在内至少有两个零点。四.（15分）设函数在区间上Riemann可积，且。试证明：存在闭区间使得当时，。五.（15分）证明：若一族开区间覆盖了闭区间，则必存在一正数，使得中任何两点满足时，必属于某个开区间。六.（15分）用球面坐标变换方程七.（

6、10分）计算：。八.（15分）求在条件下的最大最小值，其中。九．（15分）利用公式计算积分的值。（说明计算过程中每一步的合理性）十．（20分）（1）设为中光滑区域，为其边界，在上有连续二阶导数。证明：其中为沿边界外法线方向的导数，为边界上的面积元，。（2）的坐标为，函数证明：在上成立。（3）设是以为中心为半径的球，为其边界。若在上满足，则。浙江大学2003年研究生数学分析试题1．（15分）叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之。2．（15分）设在上一致连续，在上连续，且。证明：在上一致连续。3．（1

7、5分）设在上有二阶连续导数，且，当时。证明：在内，方程有且只有一个实根。4．（20分）设连续，，且（常数），求，并讨论在处的连续性。5．（10分）定义为，证明：。6．（10分）给出Riemann积分的定义，并确定实数的范围使下列极限收敛。7．（20分）证明：1）函数项级数在上一致收敛，但是对任意非绝对收敛；2）函数项级数对任意都绝对收敛，但在上非一致收敛。8．（45分）计算1）（15分）；2）（15分），其中为平面曲线所围成的有界闭区域。3）（15分），其中浙江大学二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题考试科目

8、：数学分析一、（共30％）（A）（10％）用“语言”证明；（B）（10％）给出一个一元函数，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之；（C）（10％）设为二元函数，在附近有定义，试讨论“在处可微”与“在附近关于、的偏导数都存在”之间的关系，必要时，请给出反例。二、（共30％）（A）（5％）设，数列由如下递推公式定义：，，，，，，求证：。（B）（5％）求。（C）（5％）求，，，，，，（当时）。（D）