浙江大学2003 2004年数学分析考研试题

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1、浙江大学2003年数学分析考研试题1.叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之.2.设在上一致连续，在上连续，且，证明：在上一致连续.3.设在上有二阶连续导数，且，，当时，.证明：在内，方程，有且只有一个实根.4.设连续，，且（常数），求，并讨论在处的连续性.5.定义为，，，证明：.6.给出Riemann积分的定义，并确定实数的范围，使下列极限收敛.7.证明：（1）函数项级数在上一致收敛，但是对任意，级数非绝对收敛；（2）函数项级数对任意都绝对收敛，但在上非一致收敛.8.计算（1）；（2），其中为平面曲线，，，21所围成的有界闭区域；（1），其中.浙江大学2003

2、年数学分析考研试题解答1.解：数列收敛的充分必要条件是对，，当时，有，数列收敛的充分必要条件是为柯西数列.书上有证明.2.证明：设，则在上连续，由存在，可知在上一致连续，又在上一致连续，所以在上一致连续.3.证明：因为当时，，所以在上单调递减，当时，，从而在上严格单调递减，又，，所以当充分大时，有，且，所以必有零点，又严格单调递减，所以有且仅有一个实根.211.解：，，，由，得，，，，所以在处连续.2.证明：当，不妨设，，经过多次分部积分，得21，，，当时，经过多次分部积分，得，，，21，，.1.解：定积分的定义书上有.，当时，该积分收敛，数列的极限存在.2.（1）证明：

3、设，，显然在上一致有界，对每一，单调递减，即在上一致收敛于零，由狄利克雷判别法，知在上一致收敛.显然，发散，所以发散，非绝对收敛.（2）证明：当时，绝对收敛，21当时，，，绝对收敛，因为余和，，，所以在上不一致收敛.8．(1).解：，，，当时，，在处取到最大值，21，.(2)、解：做坐标变换，，，，.（2）解：由曲面，，21，，故.21浙江大学2004年数学分析考研试题一．设函数在区间上有定义，试证明：在上一致连续的充分必要条件是对区间上任意两数列与，当时，有.二．设函数在区间内具有直到三阶的连续导数，且，，试证明：绝对收敛.三．设函数在区间上可微，且在点的右导数，在点的

4、左导数，，试证明：在内至少有两个零点.四．设函数在区间上Riemann可积，且.试证明：存在闭区间，使得当时，.五．证明：若一族开区间覆盖了闭区间，则必存在一个正数，使得中任何两点，满足时，必属于某个开区间.六．用球面坐标，，，变换方程.七．计算.八．求在条件下的最大最小值，其中.九．利用公式，，计算，（说明计算过程中每一步的合理性）.十．（1）设为中光滑区域，为其边界，，在上有连续二阶偏导数.21证明：，其中为沿边界外法线方向的导数，为边界上的面积元，.（2）的坐标为，函数，证明：在上成立.（3）设是以为中心，为半径的球面，为其边界，若在上满足，则.浙江大学2004年数

5、学分析考研试题解答一．证明：必要性设在上一致连续，则对，，当，时，有.由，对于上述，，当时，有，从而有，所以.充分性：用反证法假设在上不一致连续，则，对，存在，尽管，但，不妨取，存在，尽管，但，上述，满足，21但是，与条件,矛盾.一．证明：由，得，，，，于是，再由级数收敛，得收敛，所以绝对收敛.二．由，存在，；由，存在，.由连续函数的介值定理：存在，使得，，再由罗尔中值定理，存在，使得，存在，使得，所以在内至少存在两个零点.三．证明：反证法，假设对任意区间，却有，把这些区间叠加覆盖区间，，21，与题设条件，矛盾.一．证明：对于每一个，由于覆盖了，存在，使得，又由是开区间，

6、存在，使得，显然开集族亦覆盖了区间，根据有限覆盖定理，存在有限个，使得就能覆盖了，取，对任意，当时，存在，有，，于是，结论得证.六．解：与的关系为，，，，，，，由，得21，，，在两边对求偏导数得，所以，同理，，由两边对求偏导，得，21所以，同理，，因为，，，，所以把上述关系式代入微商连锁关系，得，（1），（2）21,（3）注意到是相互独立的，，（4）21，（5），（6）将（4），（5），（6）式两边相加，并利用，，及，得，即拉普拉斯算符在球面坐标系中表示为.七．解：21，，故.七．解：，，，，21，解得，，，所以最大值为，最小值为.七．解：，考察,其中，利用公式，，计算，

7、其中，关于一致收敛，，关于一致收敛，且存在，所以积分可以交换次序，，21令，则得，;于是，故.七．（1）证明：即格林第一公式，格林第二公式.应用高斯公式，得；同理得，，此两式两边分别相减，即得;（2），21，，，，，.（2）：利用第一型曲面积分的换元公式，高斯公式，得记，,21，，，所以，，，.或者利用格林第二公式及调和函数的积分表示公式去证.21