清华大学2003年数学分析考研试题.pdf

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1、清华大学硕士生入学考试试题专用纸准考证号系别考试日期2003.01专业考试科目数学分析试题内容：一、（15分）设（20分）设f(x,y)在R2{(x,y)}上定义，limf(x,y)=A,且>0使得00xx0yy0当0＜｜y-y0｜＜时，limf(x,y)Ф(y)存在。xx0求证：lim[limf(x,y)]Ayy0,xx02222二、（20分）设半径为r的球面∑的球心在一固定球面∑ˊ：x+y+z=a(a>0)上，问当r取何值时，球面∑含在球面∑ˊ内部的部分面积最大？x三、（20分）设f0(x)C[﹣a,a](a>0),fn(x)=fn-1(t)dt,(n

2、=1,2,…).0求证：{fn(x)}在[﹣a,a]上一致收敛于0.22四、（20分）设f(x,y）在R上二阶连续可微，f(x,2x）=x,f'x(x,2x）=x,且f''xx(x,y)=f''2yy(x,y),(x,y)R.求：f'y(x,2x）,f''yy(x,2x)及f''xy(x,2x).n2五、（25分）设f'(0）存在，f(0)=0,xn=f(k/n).k1求证：limx存在，且limx＝f(0)/2.nnnn六、（25分）设f(x)C[0,1]且在(0,1)上可导，且1/2f(1)=2xf(x)dx.0求证：存在（0,1)，使得f'（）=-

3、f()/七、（25分）设f，g在R上连续，fοɡ(x)=ɡοf(x);xR,并且f(x)≠ɡ(x),xR.求证：fοf(x)≠ɡοɡ(x)xR