数学分析考研试题集锦.doc

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1、数学分析考研试题集锦一.连续性问题1．设f(x)是[a,b]上的连续函数,f(a)<0,f(b)>0,求证:存在cÎ(a,b),使f(c)=0,且对任何,有f(x)>0．(华东理工大学2004年)二.无穷级数与函数列1．设在[0,1]上一致收敛于f(x),且每个有界，求证：(1)　极限函数f(x)在[0,1]上有界；(2)函数列在[0,1]上一致有界．(华东理工大学2004年)2.设{fn(x)}是定义在(-¥,+¥)上的可导函数列,且存在常数M>0,对所有的n和xÎ(-¥,+¥),有假设对任意xÎ(-¥,+¥),有则g(x)在(-¥,+¥)上连续.证明

2、:对任意x0Î(-¥,+¥),有对任意e>0,由于对任意xÎ(-¥,+¥),有所以存在正整数N,当n>N时,有由微分中值定理,其中x在x与x0之间,故取当

3、x-x0

4、

5、x-x0

6、1时积分收敛,p£1时积分发散.数学分析

7、考研题集锦1设函数为上的非负递减函数,且收敛,则证明：由于收敛，根据柯西准则，对任意e＞０,存在Ｍ＞０,对任意Ａ,Ｂ＞Ｍ,有．因此当时,但为上的非负递减函数,所以,故(南京理工大学2001年)2.设函数在上一阶连续可导,证明存在M>0,使得证明：由于所以故取得证.（南京理工大学）3设是上的连续函数,证明:证明:由积分中值定理.故由定积分定义,（南京理工大学）4设函数在上可导,且积分与都收敛,证明存在且为0.（南京理工大学）证:由于收敛,所以有．故存在.若不妨设,则存在当时,有即从而不收敛,矛盾,因此５　计算（东南大学2001）６　设在上二阶连续可导，设证

8、明：（东南大学2001）证明：由泰勒公式两式相减得所以因此７设在上连续非负,且积分收敛，证明：（南京理工大学2000）7.设a,b>0,证明不等式:证:设则令得由于因此f(x)在取最小值,所以对(0,1)的任意x,有故8.设f(x)在[a,b]上二次连续可微,证明:9.证明:其中C是与n无关的常数,证:由于故另一方面,若设则故数列单调递减有下界,因此收敛.设则其中C是与n无关的常数,10.设求极限解:设由拉格朗日定理,其中由于故所以11．设是[a,b]上的连续函数，当时，一致收敛于f(x)，每个在[a,b]上有零点，f(x)在[a,b]上至少有一个零点。

9、证：设在[a,b]上的零点为xn，则为有界点列，从而必有收敛子列，设.由于一致收敛于f(x),对任意e>0,存在正整数N,当n>N时,对任意有从而故即f(x)在[a,b]上至少有一个零点.12.设f(x,y)在x,y³0上连续,在x,y>0内可微,存在唯一(x0,y0)使得设证明:是f(x,y)在x,y³0上的最大值.证:设,由于故对任意e>0,存在R>0,对任意x>R,或y>R,有记,则f(x,y)在D上连续,故f(x,y)在D上必取最大值M,且下面证明:(1)M是f(x,y)在X上的最大值.对任意点,当时,有x>2R或y>2R,所以时显然有(2)由于

10、D的边界是线段故对OA和OC上任意点(x,y),由已知条件可知f(x,y)=0R,而对BC上的任意点(x,y)有y=2R>R,所以故f(x,y)在最大值M在D的内部取得,因此M也是f(x,y)的极大值,由极值的必要条件,极大值点(x,y)必满足由已知条件是满足的唯一点,故12.设f(x)是区间[0,1]上的可微函数,f(0)=f(1)=0.当0

11、分绝对收敛,试证:证:由于所以由于f(x)在[0,+¥)上连续,广义积分绝对收敛,根据黎曼引理,故14.假设h(x)是处处不可导的连续函数,以此为基础构造连续函数f(x),使f(x)仅在两点可导,并说明理由.解:设f(x)=(x-a)(x-b)h(x),则f(x)仅在x=a,x=b可导.事实上所以f(x)在x=a可导,且同理f(x)在x=b可导,且而对任意x0¹a,b,由于由已知条件,h(x)不可导,因此不存在,而故不存在,故f(x)在x0不可导.由x0的任意性,f(x)在x0¹a,b,时不可导.15设函数f在[a,b]上连续,且f>0,记证明:并应用上

12、述等式证明:证明: