导数在函数中的应用张秀斌

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1、导数在函数中的应用张秀斌张秀斌山东省海阳市第一中学265100摘要：木文主要是通过对导数在函数解题中的应用加以归纳、探讨和总结，提高学生对导数的应用的认识，加强学生对导数的概念的理解，加深学生对函数知识及函数有关题型的认识。关键词：导数函数函数的增减导数是高中数学教材中的重要内容之一，在数学教材中占据着举足轻重的地位。导数不仅在高中数学的许多问题的解决上能起到化繁为简、化难为易的作用，而且更是连接初等数学与高等数学的纽带，为高三学生进入高校之后学习高等数学知识奠定了坚实的基础。正因为导数在高中数学中的广泛应用，现已成为高考命题的热点和重点内容。木文通过探讨导数在函数解题

2、中的应用，以期开阔学生的解题思路，提高学生分析问题和解决问题的能力。一、导数在求函数的解析式中的应用解析法是最常用、最重要的一种函数表示方法，能非常清晰明了地表达出函数中两个变量的关系。所以求出函数的解析式对于研究函数的性质有很重要的影响，而导数在求函数的解析式中是一种重要的工具。例1:设函数f(x)=ax3-bx2+9x+2,若f(x)在x=l处的切线方程为3x+y-6=0,试确定函数f(x)的解析式。分析：由导数的几何意义知函数在x=l处的导数即为切线的斜率，乂切点在函数图像上，可得关于a,b的方程组，解之即可得到所求解析式。解：由已知得切点(1,3),f(x)=3

3、ax2-2bx+9,{f(l)=a-b+9+2=3a=4f(-l)=3a-2b+9=-3b=12所以，f(x)=4x3-12x2+9x+2o总结反思:求函数的切线的斜率是导数的几何意义的具体应用，涉及到复杂函数在某点的切线问题一般考虑导数。二、导数在研宄函数的单调性中的应用函数的单调性是函数的重要性质之一，是研究函数的性质吋必须要关注的一个性质，也是解决函数问题经常要考虑和利用的性质。而函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性吋，结合导数的几何意义，只需考虑f(x)的正负即可◊即：当f(x)>O吋，f(x)单调递增；当f(x)<时，f(

4、x)单调递减。此方法简单快捷而II适用面广。三、导数在求函数的单调区间中的应用例2:求f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间。分析：1.求函数的单调区间必须先求函数的定义域；2.利用导数求复杂函数的单调区间，能够化繁为简。解:显然f(x)定义域为(-∞,+∞)，又f'(x)=6x2-18x+12=6(x-l)(x-2),由f(x)〉O，即6(x-1)(x-2)>0,得x

5、点1,2处可闭可开；两个单调区间不能“并”起来。变式：已知函数f(x}=x2+2xtanθ-l，x∈[-l,3],其中θ∈(-，)，求θ的取值范围，使f(x)在区间[-1,3】上是单调函数。分析：函数f(x)在某一区间上是单调函数，应该分单调递增、单调递减两种情况讨论；已知函数在某一区间上是增函数，在该区间上f(x)人于等于0恒成立。总结反思：利用导数求使得函数在某一区间上是单调函数的参数取值范围问题吋，解的端点一定要进行检验，以避免使得函数为常函数。四、导数在求函数的最(极)值中的应用求函数的最(极)值是高中数学

6、的重点和难点，也是练过程中经常遇到的问题，更是高考中重点考查的内容。利用导数解决这类问题能够冇效地简化解题过程，使得解题步骤更加清晰明了，达到化繁为简的效果。1.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)求导数f′(x)。(2)求方程f′(x)=O的根。(3)用(2)中方程的根，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格。(4)根据f′(x)在方程根左右的值的符号，判断并求出函数的极大值和极小值。2.求在闭区间［a,b］上可导的函数f(x)在［a山】上最值的步骤：只需在求出函数f(x)在［a,b］上的极值的前提下，求出端点的函数值，

7、并比较f(x)在极值点和端点的函数值即可。五、导数在求函数值域中的应用函数值域是函数的重要的性质之一，也是高中数学的重点和难点，求解方法多种多样，所以对学生而言很难掌握。而如果能够灵活地利用导数来求解，则能化难为易，并II导数基本能够解决任何求函数值域问题。导数在高中数学中有着很广泛应用，与高中数学的很多方面都有所涉及。本文只是对导数在有关函数解题中的应用进行了初步的探讨，简单总结了导数知识在研究函数的解析式、单调性、单调区间、极值(最值)及值域等问题的基本方法，从一个方面阐述了导数在我们研宄中学数学的重要地位和作用。