空间直角坐标系的建立的常见方法

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1、一、空间直角坐标系的建立的常见方法运用“坐标法”解答空间几何体问题时，往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何体的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系，是解决问题的基础和关键．一、利用共顶点的互相垂直的三条棱建系例1、在正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点.（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA′和BD′的公垂线；（Ⅱ）求二面角M－BC′－B′的大小；w_ww.k#s5_u.co*m例2、CBAC1B1A1如图，在直三棱柱中，AB=1，，∠ABC=60.(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）求二面角A——B的大小。w.w.w.k.s

2、.5.u.c.o.m二、利用线面垂直关系建系例3、已知三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.第4页共4页例4、如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。例5、如图，在三棱锥中，，ACBPzxy，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．例6、如图2，在三棱柱A

3、BC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1．已知，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值．第4页共4页三、利用面面垂直关系建系例7、如图3，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．　　（1）证明AB⊥平面VAD；　　（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．例8、在直三棱柱中，AB＝BC，D、E分别为的中点．（1）证明：ED为异面直线与的公垂线；（2）设，求二面角的大小．例9、四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DBCAS侧

4、面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=，SA＝SB＝。(Ⅰ)证明：SA⊥BC；(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；例10、如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．第4页共4页四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例11　已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．　　（1）求∠DEB的余弦值；　　（2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．二、求平面的法向量法向量的定义：如果向量平面，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大

5、类（从方向上分），且有无数条。方法：1、找现成的面的垂线；2、不定方程组法：设平面的法向量为，是平面内的2个相交向量，由可得一个含的不定方程组，然后在中任取一个好算的值（一般不能取0）即可得一个法向量。3、矢量积法：==注意：与都垂直，并且按，，这个顺序构成右手系。第4页共4页