2017年高考一轮复习教（学）案-选修4-4极坐标和参数方程

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1、选修4－4　坐标系与参数方程1．坐标系与极坐标(1)理解坐标系的作用．(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义．2．参数方程(1)了解参数方程，了解参数的意义．(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．(3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直

2、线的参数方程解决简单的相关问题．知识点一　极坐标系1．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫作极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离

3、OM

4、叫作点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．2．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角

5、坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：易误提醒　1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．[自测练习]1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为________．解析：由知代入y＝sinx中得y′＝3sin2x′.答案：y′＝3s

6、in2x′2．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为________．解析：因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.答案：3．(2015·高考北京卷)在极坐标系中，点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为________．解析：点的直角坐标为(1，)，直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的直角坐标方程为x＋y－6＝0，所以点(1，)到直线的距离d＝＝1.答案：1知识点二　参数方程参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y

7、是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程叫作这条曲线的参数方程，变数t叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．易误提醒　1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则不等价．2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，且其几何意义为：

8、t

9、是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即

10、M0M

11、＝

12、t

13、.[自测练习]4．在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数

14、)的普通方程为________．解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝05．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆(θ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________．解析：椭圆的普通方程为＋＝1，则右焦点的坐标为(1,0)．直线的普通方程为x－2y＋2＝0，过点(1,0)与直线x－2y＋2＝0平行的直线方程为x－2y－1＝0，由得4x2－2x－11＝0，所以所求的弦长为×＝.答案：考点一　曲线的极坐标方程

15、1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos

16、θ＋sinθ和直线l：ρsin＝.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.2．(2016·长春模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.(1

17、)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.因为ρ2－2ρcos＝2，所以ρ2－2ρ＝2.所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsin＝.直角坐标化为极坐标的关注点