等差数列典型例题与分析

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1、第四章数列[例1]已知数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式;(2)指出1+4+…+(3n-5)是该数列的前几项之和.正解:(1)an=3n-2;(2)1+4+…+(3n-5)是该数列的前n-1项的和.[例2]已知数列的前n项之和为①②求数列的通项公式。正解:①当时,当时,经检验时也适合,②当时,当时,∴[例3]已知等差数列的前n项之和记为Sn,S10=10,S30=70,则S40等于。正解:由题意:得代入得S40=。[例5]已知一个等差数列的通项公式an=25-

2、5n,求数列的前n项和;正解:[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前项和的公式吗?[例7]已知:()(1)问前多少项之和为最大?(2)前多少项之和的绝对值最小?解:(1)∴(2)当近于0时其和绝对值最小令:即1024+得:∵∴[例8]项数是的等差数列,中间两项为是方程的两根,求证此数列的和是方程的根。()证明:依题意∵∴∵∴∴(获证)。四、典型习题导练1.已知,求及。2.设,求证:。3.求和:4.求和:5.已知依次成等差数列,求证:依次成等差数列.6.在等差数列

3、中,,则(      )。A.72  B.60  C.48  D.367.已知是等差数列,且满足,则等于________。8.已知数列成等差数列,且,求的值。§4.2等比数列的通项与求和三、经典例题导讲[例1]已知数列的前n项之和Sn=aqn(为非零常数),则为( )。A.等差数列   B.等比数列  C.既不是等差数列,也不是等比数列D.既是等差数列,又是等比数列正解:当n=1时,a1=S1=aq;当n>1时,(常数)但既不是等差数列,也不是等比数列,选C。[例2]已知等比数列的前n项和记为Sn,S10=10,

4、S30=70,则S40等于.错解:S30=S10·q2.q2=7,q=,S40=S30·q=.错因:是将等比数列中Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列误解为Sm,S2m,S3m成等比数列.正解:由题意:得,S40=.[例3]求和:a+a2+a3+…+an.错解:a+a2+a3+…+an=.错因:是(1)数列{an}不一定是等比数列,不能直接套用等比数列前n项和公式(2)用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.正解:当a=0时,a+a2+a3+…+an=0;当a=1时,a+a2+a3+…+an=n;当a1

5、时,a+a2+a3+…+an=.[例4]设均为非零实数,,求证:成等比数列且公比为。证明:证法一:关于的二次方程有实根,∴,∴则必有:,即,∴非零实数成等比数列设公比为,则,代入∵,即,即。证法二:∵∴∴,∴,且∵非零,∴。[例5]在等比数列中,,求该数列前7项之积。解:∵,∴前七项之积[例6]求数列前n项和解:①②两式相减:[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水,然后加入1kg水,以后每次都倒出1kg盐水,然后再加入1kg水,问:(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg?(2)经6次

6、倒出后,一共倒出多少kg盐?此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少?解:(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an},则:a1=0.2(kg),a2=×0.2(kg),a3=()2×0.2(kg)由此可见:an=()n-1×0.2(kg),a5=()5-1×0.2=()4×0.2=0.0125(kg)。(2)由(1)得{an}是等比数列a1=0.2,q=答:第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg;6次倒出后,一共倒出0.39375kg盐,此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。

7、四、典型习题导练1.求下列各等比数列的通项公式:1)a1=-2,a3=-82)a1=5,且2an+1=-3an3)a1=5,且2.在等比数列,已知,,求.3.已知无穷数列,求证:(1)这个数列成等比数列(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的,(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4.设数列为求此数列前项的和。5.已知数列{an}中,a1=-2且an+1=Sn,求an,Sn6.是否存在数列{an},其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列,且公比相同?7.在等比数列中,,求的范围。§4.3数列的综合应用三

8、、经典例题导讲[例1]设是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和.证明:。错解:欲证只需证>2即证:>由对数函数的单调性,只需证<-==-<原不等式成立.错因:在利用等比数列前n项和公式时,忽视了q=1的情况.正解:欲证只需证>2即证:>由对数函数的单调性,只需证<由已知数列是由正数组成的等比数列,>0,.若,则-==-<0;若,-==-<原不等式成立.[例4]求数列的前

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