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《等差数列典型例题与分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第四章数列[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.正解：（1）an=3n－2;(2)1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.[例2]已知数列的前n项之和为①②求数列的通项公式。正解：①当时，当时，经检验时也适合，②当时，当时，∴[例3]已知等差数列的前n项之和记为Sn，S10=10，S30=70，则S40等于。正解：由题意：得代入得S40＝。[例5]已知一个等差数列的通项公式an=25－
2、5n，求数列的前n项和；正解：[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前项和的公式吗？[例7]已知：（）（1）问前多少项之和为最大？（2）前多少项之和的绝对值最小？解：（1）∴（2）当近于0时其和绝对值最小令：即1024+得：∵∴[例8]项数是的等差数列，中间两项为是方程的两根，求证此数列的和是方程的根。（）证明：依题意∵∴∵∴∴（获证）。四、典型习题导练1．已知，求及。2．设，求证：。3.求和:4.求和：5.已知依次成等差数列，求证：依次成等差数列.6.在等差数列
3、中，，则（ ）。A．72 B．60 C．48 D．367.已知是等差数列，且满足，则等于________。8.已知数列成等差数列，且，求的值。§4.2等比数列的通项与求和三、经典例题导讲[例1]已知数列的前n项之和Sn=aqn（为非零常数），则为（ ）。A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列正解：当n＝1时，a1=S1＝aq;当n>1时，（常数）但既不是等差数列，也不是等比数列，选C。[例2]已知等比数列的前n项和记为Sn，S10=10，
4、S30=70，则S40等于.错解：S30=S10·q2.q2＝7，q＝，S40=S30·q=.错因：是将等比数列中Sm,S2m－Sm,S3m－S2m成等比数列误解为Sm,S2m,S3m成等比数列.正解：由题意：得，S40=.[例3]求和：a+a2+a3+…+an.错解：a+a2+a3+…+an＝.错因：是（1）数列｛an｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.正解：当a＝0时，a+a2+a3+…+an＝0;当a＝1时，a+a2+a3+…+an＝n;当a1
5、时，a+a2+a3+…+an＝.[例4]设均为非零实数，，求证：成等比数列且公比为。证明：证法一：关于的二次方程有实根，∴，∴则必有：，即，∴非零实数成等比数列设公比为，则，代入∵，即，即。证法二：∵∴∴，∴，且∵非零，∴。[例5]在等比数列中，，求该数列前7项之积。解：∵，∴前七项之积[例6]求数列前n项和解：①②两式相减：[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？(2)经6次
6、倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：a1=0.2（kg）,a2=×0.2（kg）,a3=()2×0.2（kg）由此可见：an=()n-1×0.2（kg）,a5=()5-1×0.2=()4×0.2=0.0125（kg）。(2)由(1)得{an}是等比数列a1=0.2,q=答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。
7、四、典型习题导练1.求下列各等比数列的通项公式：1)a1=-2,a3=-82)a1=5,且2an+1=-3an3)a1=5,且2.在等比数列，已知，，求.3.已知无穷数列，求证：（1）这个数列成等比数列（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4.设数列为求此数列前项的和。5.已知数列{an}中，a1=-2且an+1=Sn，求an,Sn6.是否存在数列{an}，其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同？7.在等比数列中，，求的范围。§4.3数列的综合应用三
8、、经典例题导讲[例1]设是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明：。错解：欲证只需证＞2即证：＞由对数函数的单调性，只需证＜－＝＝－＜原不等式成立.错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q＝1的情况.正解：欲证只需证＞2即证：＞由对数函数的单调性，只需证＜由已知数列是由正数组成的等比数列，>0,.若,则－＝＝－＜0；若,－＝＝－＜原不等式成立.[例4]求数列的前
