2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学

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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.已知（为虚数单位），则复数=（）A.B.C.D.2.设A,B是两个集合，则””是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.执行如图1所示的程序框图，如果输入，则输出的()A.B.C.D.4.若变量满足约束条件则的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.25.设函数，则是（）A

2、.奇函数，且在上是增函数B.奇函数，且在上是减函数C.偶函数，且在上是增函数D.偶函数，且在上是减函数6.已知的展开式中含的项的系数为30，则（）A．B.C.6D.-67.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A.2386B.2718C.3413D.47728.已知点A，B，C在圆上运动，且，若点P的坐标为（2,0），则的最大值为（）A.6B.7C.8D.99.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（）A.B.C.D.10.某工件的三视图如图3

3、所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11..12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.13.设F是双曲线的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_________________。14．设为等比

4、数列的前项和，若，且成等差数列，则.15．已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）本小题设有Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内。如果全做，则按所做的前两题计分。（Ⅰ）（本题满分6分）选修4-1：几何证明选讲如图5，在中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（ⅰ）；（ⅱ）（Ⅱ）（本题满分6分）选修4-4：坐标

5、系与参数方程已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（ⅱ）设点M的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值。（Ⅲ）（本题满分6分）选修4-5：不等式选讲设，且，证明：（ⅰ）；（ⅱ）与不可能同时成立。17.（本小题满分12分）设的内角的对边分别为，且为钝角。（Ⅰ）证明：;（Ⅱ）求的取值范围。18.（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球。在摸出的2个球中

6、，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖。（Ⅰ）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（Ⅱ）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望。19.（本小题满分13分）如图6，已知四棱台的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点分别在棱上。（Ⅰ）若是的中点，证明：；（Ⅱ）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积。20.（本小题满分13分）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为。（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）过点的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向。（ⅰ）若，求直线的斜率；（ⅱ

7、）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形。21.（本小题满分13分）已知，函数。记为的从小到大的第个极值点。证明：（Ⅰ）数列是等比数列；（Ⅱ）若，则对一切恒成立。2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学参考答案www.ks5u.com一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.D2.C3.B4.A5.A6.D7.C8.B9.D10.A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.012.413.14.15.三、解答题：16.（Ⅰ）证明：（ⅰ

8、）如图所示，因为分别是弦的中点，所以，即，因此，又四边形的内角和等于，故。（ⅱ）