2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(湖南卷)

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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法3.在锐角中,角所对的边长分别为.若A.B.C.D.4

2、.若变量满足约束条件,A.B.C.D.5.函数的图像与函数的图像的交点个数为A.3B.2C.1D.06.已知是单位向量,.若向量满足A.B.C.D.7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于A.B.C.D.8.在等腰三角形中,点是边上异于的一点,光线从点出发,经发射后又回到原点(如图).若光线经过的中心,则等于A.B.C.D.二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分)9.在平面直角坐标系中,若右顶点,则常数.10.已知

3、.11.如图2,在半径为的中,弦.(一)必做题(12-16题)12.若.13.执行如图3所示的程序框图,如果输入.14.设是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若且的最小内角为,则C的离心率为___。15.设为数列的前n项和,则(1)_____;(2)___________。16.设函数(1)记集合,则所对应的的零点的取值集合为____。(2)若.(写出所有正确结论的序号)①②③若三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数。(I)若是第一象限角,且。求的值;(II)求使成立的x的取值集合。18.(本小题满分

4、12分)某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:X1234Y51484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;(II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望。19.(本小题满分12分)如图5,在直棱柱(I)证明:;(II)求直线所成角的正弦值。20.(本小题满分13分)在平

5、面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点处。现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心。(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。21.(本小题满分13分)过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线,且,相交于点A,B,相交于点C,D。以AB,CD

6、为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为。(I)若,证明;;(II)若点M到直线的距离的最小值为,求抛物线E的方程。22.(本小题满分13分)已知,函数。(I)记求的表达式;(II)是否存在,使函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由。

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