2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学

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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学本试题包括选择题,填空题和解答题三部分,共6页,时间120分钟,满分150分.一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,贼每小题给出的四个选项中,只有一项是复合题目要求的.1.已知(为虚数单位),则复数=()A.B.C.D.2.设A,B是两个集合,则””是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.执行如图1所示的程序框图,如果输入,则输出的()A.B.C.D.4.若变量满足约束条件则的最小值为()A.-7B.-1C.1D.25.设函数,则是(

2、)A.奇函数,且在上是增函数B.奇函数,且在上是减函数C.偶函数,且在上是增函数D.偶函数,且在上是减函数6.已知的展开式中含的项的系数为30,则()A.B.C.6D.-67.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A.2386B.2718C.3413D.47728.已知点A,B,C在圆上运动,且,若点P的坐标为(2,0),则的最大值为()A.6B.7C.8D.99.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像,若对满足的,有,则()A.B.C.D.10.某工件的三视

3、图如图3所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)()A.B.C.D.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11..12.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图4所示.若将运动员按成绩由好到差编为号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.13.设F是双曲线的一个焦点,若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为_________________。1

4、4.设为等比数列的前项和,若,且成等差数列,则.15.已知,若存在实数,使函数有两个零点,则的取值范围是.三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)本小题设有Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三个选做题,请考生任选两题作答,并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内。如果全做,则按所做的前两题计分。(Ⅰ)(本题满分6分)选修4-1:几何证明选讲如图5,在中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:(ⅰ);(ⅱ)(Ⅱ)(本题满分6分)

5、选修4-4:坐标系与参数方程已知直线(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(ⅰ)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(ⅱ)设点M的直角坐标为,直线与曲线的交点为,求的值。(Ⅲ)(本题满分6分)选修4-5:不等式选讲设,且,证明:(ⅰ);(ⅱ)与不可能同时成立。17.(本小题满分12分)设的内角的对边分别为,且为钝角。(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求的取值范围。18.(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个白球的乙箱中,各随机摸出1个

6、球。在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖。(Ⅰ)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(Ⅱ)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为,求的分布列和数学期望。19.(本小题满分13分)如图6,已知四棱台的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,,且底面,点分别在棱上。(Ⅰ)若是的中点,证明:;(Ⅱ)若平面,二面角的余弦值为,求四面体的体积。20.(本小题满分13分)已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点,与的公共弦的长为。(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)过点的直线与相交于两点,与相交于两点,且与同向。(ⅰ

7、)若,求直线的斜率;(ⅱ)设在点处的切线与轴的交点为,证明:直线绕点旋转时,总是钝角三角形。21.(本小题满分13分)已知,函数。记为的从小到大的第个极值点。证明:(Ⅰ)数列是等比数列;(Ⅱ)若,则对一切恒成立。2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学参考答案www.ks5u.com一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,贼每小题给出的四个选项中,只有一项是复合题目要求的.1.D2.C3.B4.A5.A6.D7.C8.B9.D10.A二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.012.413.14.15.三、解

8、答题:16.(Ⅰ)证明:(ⅰ)如图所示,因为分别是弦的中点,所以,即,因此,又四边形的内角和等于,故。(ⅱ)

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