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1、§3.4复杂系统决策模型与层次分析法AnaliticHierachyProcess(AHP)T.L.Saaty1970’一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。一.问题举例1.在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。2.在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。3.在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义），可行性（难度、周期和
2、经费）和人才培养。二.模型和方法1.层次结构模型的构造步骤一：确定层次结构，将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。最高层：决策的目的、要解决的问题。最低层：决策时的备选方案。中间层：考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。旅游景点居住景色费用饮食交通泰山杭州承德选购冰箱品牌功能价格耗电海尔新飞容声雪花例1.选购冰箱例2.旅游景点科研课题贡献可行性实用价值学术意义人才培养难度周期经费基础应用教育例3.科研课
3、题步骤二：通过相互比较，确定下一层各因素对上一层目标的影响的权重，将定性的判断定量化，即构造因素判断矩阵。步骤三：由矩阵的特征值确定判别的一致性；由相应的特征向量表示各因素的影响权重，计算权向量。步骤四：通过综合计算给出最底层（各方案）对最高层（总目标）影响的权重，权重最大的方案即为实现目标的最由选择。2.因素判断矩阵比较n个因素y=(y1,y2,…,yn)对目标z的影响.采用两两成对比较，用aij表示因素yi与因素yj对目标z的影响程度之比。通常用数字1~9及其倒数作为程度比较的标度，即九级标度法xi/
4、xj相当较重要重要很重要绝对重要aij135792,4,6,8居于上述两个相邻判断之间。当aij>1时，对目标Z来说xi比xj重要,其数值大小表示重要的程度。同时必有aji=1/aij£1，对目标Z来说xj比xi不重要，其数值大小表示不重要的程度。称矩阵A=（aij）为因素判断矩阵。因为aij>0且aji=1/aij故称A=(aij)为正互反矩阵。例.选择旅游景点Z：目标，选择景点y：因素，决策准则y1费用，y2景色，y3居住，y4饮食，y5交通3.一致性与权向量如果aijajk=aiki,j,k=1,2
5、,…,n，则称正互反矩阵A具有一致性.这表明对各个因素所作的两两比较是可传递的。一致性互正反矩阵A=(aij)具有性质:A的每一行(列)均为任意指定行(列)的正数倍数,因此rank(A)=1.A有特征值l=n,其余特征值均为零.记A的对应特征值l=n的特征向量为w=(w1w2,…,wn)则aij=wiwj-1如果在目标z中n个因素y=(y1,y2,…,yn)所占比重分别为w=(w1w2,…,wn),则åiwi=1,且因素判断矩阵为A=(wiwj-1)。因此，称一致性正互反矩阵A相应于特征值n的归一化特征向
6、量为因素y=(y1,y2,…,yn)对目标z的权向量4.一致性检验与因素排序定理1:n阶正互反矩阵A是一致性的当且仅当其最大特征值为n.定理2:正互反矩阵具有模最大的正实数特征值l1,其重数为1,且相应特征向量为正向量.为刻画n阶正互反矩阵A=(aij)与一致性接近的程度,定义一致性指标(Consensusindex):CI=(l1-n)/(n-1)CI=0,A有完全的一致性。CI接近于0,A有满意的一致性。Saaty又引入平均随机一致性指标RTn123456789RI000.580.901.121.24
7、1.321.411.45当CR=CI/RI<0.1时,认为A有满意的一致性。此时取A的相应于l1的归一化特征向量w=(w1w2,…,wn)为因素y=(y1,y2,…,yn)对目标z的权向量。由w=(w2,…,wn)分量wi的大小可以对因素的重要性排序。例.选择旅游景点：Z：目标，选择景点y：因素，决策准则因素对目标的判断矩阵A,Matlab程序:[V，D]=eig(A)A有特征根l1=5.019w=(0.48,0.26,0.05,0.10,0.11)’CI=(l1-5)/(5-1)=0019/4=0.00
8、475CR=0.00475/1.12=0.004246<0.1，A有满意的一致性。y：因素，决策准则y1费用，y2景色，y3居住，y4饮食，y5交通x：对象，备选方案x1杭州，x2泰山，x3承德。备选对象对决策准则yi的判别矩阵为Bi备选对象对决策准则的判别矩阵都具有满意的一致性5.一致性与总排序层次：xÞyÞZy对目标Z有判断矩阵A，排序权重a=(a1,…,a5)Tx对准则yj有判断矩阵Bj，排序权重bj=(b1j,b2j,
