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《§3.4复杂系统决策模型与层次分析法analitichierachy》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§3.4复杂系统决策模型 与层次分析法AnaliticHierachyProcess(AHP)对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。一.问题举例1.在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。2.在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。3.在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才培养。二.模型和方法1.层次结构模型将决策的目标、考虑的因素（决策
2、准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。最高层：决策的目的、要解决的问题。最低层：决策时的备选方案。中间层：考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。例1.选购冰箱选购冰箱品牌功能价格耗电海尔新飞容声雪花例2.旅游景点旅游景点居住景色费用饮食交通泰山杭州承德例3.科研课题科研课题贡献可行性实用价值学术意义人才培养难度周期经费基础应用教育2.因素判断模型10.判断矩阵：令正数aij为因素xi、xj对目标Z的影响的相对重要性指标。aij=1：xi与xj对目标Z的重要性相当。aij>1：对目
3、标Z来说xi比xj重要,其数值大小表示重要的程度。显然有aji=1/aij。矩阵A=（aij）称为因素（x1,…,xn）成对比较时的判断矩阵。20.正互反矩阵：n×n矩阵A=(aij)是正互反的,如果满足条件aij>0且aji=1/aij30.aij的估计:九级标度法xi/xj相当较重要重要很重要绝对重要aij1357940.例.选择旅游景点Z：目标，选择景点y：因素，决策准则y1费用,y2景色,y3居住,y4饮食,y5交通X：对象，备选方案X1杭州，X2泰山，X3承德，因素对目标的判断矩阵3.因素排序及其一致性10.权重向量令λ1为A的最大(模)特征
4、根,则λ1>0.令w为与λ1对应的A的特征向量,则w>0.归一化:wi*=wi/wi,有w*=(w1*,…,wn*)’称w*为因素y对目标Z相对重要性的权重。20.排序的一致性比较的一致性：对于因素关于目标重要性比较的指标aij,若对任意的k,满足aij=aikakj,则称这个比较是一致的。排序的一致性：一致性指标CI(Consensusindex)CI=(λ1-n)/(n-1)，CI>=0。CI=0,A有完全的一致性。CI接近于0,A有满意的一致性。一致性判断矩阵与因素排序一致性判断矩阵：所有元素满足一致性条件aij=aikakj的判断矩阵。一致性
5、判断矩阵的特征向量就是因素的排序矩阵的一致性定理1.(Peron-Frobenious)非负矩阵存在正的最大模特征根,对应着正的特征向量。定理2.一致的正互反阵的秩等于1，主特征根为n，若特征向量为w=(w1,…,wn)’,则有aij=wi/wj。定理3.n阶判断矩阵是一致的，当且仅当λ1=n。定理2证明一致性正互反矩阵中任意两列元素成比例aij=maih，i=1,…,n由一致性：aij=aikakj，aih=aikakh，则aij/aih=akj/akh=m,即aij=maih,i=1,…,n由aij=aik/ajk，令a=(a1ka2k…ank)’
6、,a-1=(1/a1k1/a2k…1/ank)’则有A=aa-1’,判断矩阵的秩为1.且有Aa=aa-1’a=na一致性判断矩阵各列均是判断矩阵的特征向量若特征向量为w=(w1,…,wn)’,则有aij=aik/ajk=wi/wj。表示wi与wj之间的比值,是这两者重要性之间的一个判断.w就是各对象之间的一个排序.即:各列均表示被判断元素之间的排序。定理3证明随机一致性指标固定n,令A的上三角从{1/9,…,1,2,…,9}中随机取值,构成正互反矩阵。计算它的CI。对每个n=1,2,…,9分别随机地抽取n=100~500个样本,得到Ank和CInk(不
7、一致判断矩阵的指标)。取则CI>RI时,判断矩阵明显不具有一致性。取α<0.1,则当CI<αRI时,A在水准α下有满意的一致性.平均随机一致性指标RIn123456789RI000.580.901.121.241.321.411.45CR=CI/RI<0.1时,A有满意的一致性。AHP的计算1.最大特征根与特征向量的计算—幂法给定A>0,对任x>0则若取则特征根为特征根与特征向量的近似算法计算行(几何)平均归一化特征根MATLAB算法%对于形如A=(mij/hij)的正互反阵，求特征值和特征向量。>>B=[m11,…m1n;m21,…,m2n;…;mn
8、1,…,mnn];>>A=B./B’>>[X,D]=eig(A)例.准则对目标的排序A有特征根
