借题发挥融会贯通

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1、借题发挥融会贯通　新课程标准中提倡“通过解决问题的反思，获得解决问题的经验”。数学教学离不开例题习题，而教学中如何选择例题习题，从而挖掘教材潜在的智能价值，充分展示教学功能，并使课本知识有效地浓缩。通过不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，使一题多变，从而揭示不同知识点的联系，使学生加深知识的理解与内化，使知识系统化，克服某些思维定势，发散学生思维，培养学生思维的灵活性、全面性和创新性，提高学生解决实际问题和应变的能力。（原题展示）如图，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE、BG。求证：BG=CE【本题来源于浙教版八下课本第

2、147页作业题第3题，考查正方形、三角形全等的知识，考查的是几何图形识别、分析以及推理的基础知识和基本技能。此题潜在价值很大：可以添加探索新结论；可以改变条件，探索结论；可以通过图形位置改变，让图形动起来，变成动态问题；也可以把正方形改为矩形、正三角形、圆，把三角形改为梯形；还可以将整个图形引入直角坐标系中和函数联系起来。这样的解题发挥，加深知识间的联系，融会贯通。】变式一：条件不变、增加探究结论（2）观察图形猜想CE与BG之间的位置关系，并证明你的猜想。（3）图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到？请说出是怎样的变换？【本题在条件不变下继续探索其它结论，使不同层次的学生得到不

3、同得到发展，使学生经历获得通过猜想到验证的解决问题方法，培养学生探究能力与解决问题的能力】变式二：添加条件、探究新结论（4）如上图，AB＝11，AC＝7，连结EG，求的值【本题应用勾股定理知识解决，考查辅助线添法以及转化思想。】练习1：（2007甘肃陇南中考题）四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．变式三：改变条件，探究原结论把上题的“正方形ABCD、DEFG”改为“矩形ABCD、DEFG（长宽不等）”，上面两个结论还成立吗？若不成立，请问在什么条件下成立？图（2）图（1）【本

4、题条件正方形改为矩形，探索前面两个结论是否成立，若不成立，探索成立的条件。两个矩形长和宽成比例时，AE⊥CG，可以运用三角形相似证明，但AE≠CG.由全等到相似，使学生把相关知识贯穿在一起相互比较，加深理解，使知识融会贯通。】变式四：图形旋转，探究原结论（3）如练习1题条件，正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转，使AD与GD重合时如图（1），上述两个结论是否成立?（4）正方形ABCD绕点D顺时针方向旋转，如图（2），上述两个结论是否成立？（5）如图（2），连结BF，求CG:BF:AE的值.【让题设条件与图形“动”起来，形成“一题多变”或“一图多变”的系列化问题。克服思维定势和图

5、形位置定势，使学生习惯于“开放”与“探究”的思维，揭示利用全等知识证明的本质，熟练地应用知识和技能，准确把握解题方向。第（5）小题连结BD、DF，构造相似三角形，利用相似比求解，渗透转化思想】练习2：（2008年义乌市中考题）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如

6、图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．图1图2图3图4图5图6（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．变式五：根据图形或变式图形求面积1.如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7和11，则△CDE的面积等于。2.如图，直线上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为

7、（　　）Ａ．4Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．553.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1，S2，S3之间的关系是.【本题根据几何图形求边长与面积，充分渗透数学结合思想。第1题利用旋转得到△ADG和△CDE的面积相等，第2题利用全等三角形和勾股定理，第3题根据角度和为直角作辅助线将梯形转化为直角三角形，然后利用相似比将三个正方形的边长转化为直角三角形中，再利用勾股定理得到解答。】练习3：在直线l上