借题发挥,成就精彩

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1、借题发挥，成就精彩镇海应行久外语实验学校卢建章摘要：本文以勾股定理在中考题中的应用为出发点，“借题”追根溯源论联系教材阐述了勾股定理与图形面积的关系，并应用这种关系反过来巧解中考题，达到事半功倍的效果。接着，借中考题进行适当拓展，使学生充分体会勾股定理与图形面积的这种巧妙关系，同时也让学生感受数学的和谐美。同时，在最后本文也从另一方面阐述了对典型的课本例题、习题及中考题还要从多角度挖掘其典型的应有的教学价值及教育功能的必要性,只有这样才能充分调动学生的数学学习积极性，才能成就精彩课堂。关键词：勾股定理图形面积教育功能课堂教学

2、勾股定理是数学几何中一个非常重要的定理，它反映了直角三角形三条边之间的关系，即。而，，又可以看成是以a，b，c为边长的正方形的面积。由此可知，勾股定理与图形面积存在着必然的联系。在利用勾股定理解决有关图形面积问题时，我们可以适当结合图形的有关特征，运用勾股定理使复杂问题的简单化，抽象问题具体化。而在近几年的中考试题中，也经常出现了勾股定理与图形面积关系的创新试题。这不得不让人深思，勾股定理与图形面积之间的关系。一、借中考试题，研究初探例1．(2009年达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是

3、直角三角形。若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13B．26C．47D．94解析由题意可知，正方形Ａ、B、C、D的面积分别为9、25、4、9.再由勾股定理可知，下面两个空白正方形的面积分别为34、13.所以，正方形E的面积为47。正确答案为C。例2（2009年宜宾）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形。若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为。解析由题意可知，等腰直角三角形AB边上的高为。5/5同理，可得+＝，而+＝＝++＝+＝这两道中考题重点考查学生对勾股定理的

4、综合运用能力。同时也考查了学生对图形的直观感受，有利于学生进行观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动。这两道题联系密切，都是从勾股定理出发，来解决图形面积的问题，不得不让人深思。其实，这两题都来源于课本，但高于课本。二、借课本习题，探究规律在浙教版八年级上2.6《探索勾股定理》一节第42页中就出现类似的习题，并在第43页的阅读材料中进行了拓展.1.如图，最大正方形的面积等于较小两个正方形面积的和.由这三个正方形的边构成的△ABC是直角三角形吗？请说明理由。解析由题意可知，两个小正方形的面积分别为，而大正方形的面积为.因为大正

5、方形的面积等于较小两个正方形的面积和，所以，所以△ABC是直角三角形.2.如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形.已知这三个正方形构成的图形中,灰色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则△ABC是直角三角形吗？请说明理由.解析此题是把上题以斜边为边长的大正方形往上折的一种情形.而由题意可知，，若在这个等式两边加上图形中的两块空白部分的面积，则可得到两个小正方形的面积等于大正方形的面积.也就是△ABC两条较短的边的平方和等于较长边的平方，所以△ABC是直角三角形.通过对例1及这两道习题的解析，我们不难发现，分别以直角三角形两条

6、直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积.而通过对例2的解析，我们也可以发现，分别以直角三角形两条直角边为斜长的两个等腰直角三角形的面积之和，等于以斜边为斜长的等腰直角三角形的面积.5/5类似地，上述结果是否适合其他图形呢？例如，分别以直角三角形的三条边为边，向外分别作正三角形，那么是否存在呢？答案是肯定的，通过推理验证我们依然可以得到这个结论。再画几个类似的图试一试，结论成立吗?由此，我们可以发现一个有趣的结论：在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图

7、形的面积之和.其实，这一规律在欧几里得时代人们就已经发现，并在《几何原本》第六卷作了介绍。勾股定理与面积的这种关系实际上是勾股定理的一种应用，它体现了数形结合的重要思想。教师在平时数学教学中，若能启发、引导学生从多角度，多渠道进行广泛的联想、猜想、验证，则能得到许多构思巧妙、新颖独特、简捷有效的解题方法，对学生的多元思维培养，学习兴趣的提高以及独创钻研精神的发挥无疑是十分有利的。三、借用规律，巧解中考试题例3.(2009年湖州)如图，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于．CABS1S2解析以AC，

8、BC为直径的半圆的面积和应等于以AB为直径的半圆的面积.所以，+＝例4.（2008年陕西）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90°，且DC＝2AB,分别以DA,AB,BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为，则之间的关系是.解析如图，取CD的中点E并连结BE，则可得到四边