机械工程控制基础 第二章 数学模型

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1、控制工程基础——数学模型数学模型：描述系统动态特性的数学表达式，称为系统的数学模型，它揭示了系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系。作用：数学模型是设计和分析控制系统的依据。显然，建立正确、合理的系统的数学模型是关键性的步骤。数学模型可分为两大类：外部模型和内部模型。外部模型也称为输入—输出模型。它着眼于系统激励与响应的关系，并不涉及系统内部变量的情况。因而，这种方法对于单输入、单输出系统较为方便。一般而言，描述线性时不变系统的输入—输出关系，对连续系统是用常系数线性微分方程来描述，对离散系统是用常系数线性差分方程来描述。内部模型也称为

2、状态变量描述法。它不仅可以给出系统的响应，还可提供系统内部各变量的情况，特别适用于多输入、多输出系统。用这种方法建立的数学式为一阶微分方程组形式，便于计算机求解。状态变量分析法还适用于时变系统和非线性系统，已成为系统理论与现代控制工程的基础。建模基本方法：解析法和实验法。数学模型的形式微分方程（组）传递函数（阵）频率特性L变换L反变换s=j时间响应变量状态图方框图，信号流图Nyquist图，Bode图等2.1系统运动微分方程的建立（1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程；（2）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各变量之间的数学关

3、系式；注意：因果关系和负载效应；（3）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理；（4）消去中间变量，得到输出——输入关系式；（5）整理成规范形式。二步骤：一依据：反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论☆举例1：机械平移动力学系统在输入fi(t)力的作用下，质量块m将有加速度，从而产生速度和位移。质量块的速度、位移使阻尼器和弹簧产生粘性阻尼力fc(t)和弹性力fk(t)。这两个力反作用于质量块，影响输入fi(t)的作用效果，从而使质量块的速度和位移发生变化，产生动态过程。弹簧和质量在静止平衡时的那一点为系统的平衡工作点。这样的坐标系原点

4、选择消除了重力的影响。设系统的输入量为外作用力fi(t)，输出量为质量块的位移xo(t)，现研究外力fi(t)与位移xo(t)之间的关系。三举例☆机械平移动力学系统的模型方块图描述了系统中信号转换、传递的过程，给出了系统的工作原理。系统的数学模型可用方块图表示：根据牛顿第二定律，应有由阻尼器、弹簧的特性，可写出消去中间变量，写成规范形式此式为二阶常系数线性微分方程。☆举例2：电网络系统设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压uo(t)之间的关系。电路中的电流i(t)为中

5、间变量。根据电压方程，可写出消去中间变量i(t)，稍加整理，即得上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。☆小结：⑴⑵⑴物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。这样的系统称为相似系统。在相似系统的方程中，处于相同位置的物理量称为相似量。从动态性能来看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样。这样就可以用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。这就是控制理论中的功能模拟方法的基础。⑵同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，

6、用同一方法进行普遍意义的分析研究，这就是信息方法，从信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。四小结☆小结：⑶⑷⑶在通常情况下，元件或系统的微分方程的阶次，等于元件或系统中所包含的独立储能元的个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换，描述系统的微分方程将增高一阶。⑷描述系统运动的微分方程的系数都是系统的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。五系统运动微分方程的一般形式特征方程的根称为特征根，他们是系统系数的组

7、合。N阶系统有n个特征根。特征根只能是0、实数、复数（必共扼成对出现）。系统特征根决定了系统的性能!注意：根据运动微分方程可以判断系统的类型。设y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则有是由系统结构和参数决定的常数。齐次方程为特征方程为六建立动态方程时应注意的问题⑴变量形式的选取问题系统在某一平衡点工作，变量偏离平衡点的偏离量很小，一般只研究系统在平衡点附近的动态特性。因此，总是选择平衡工作点作为坐标系原点，变量采用增量形式。其优点是系统的初始条件为零，便于求解方程，便于非线性方程进行线性化处理。⑵负载效应问题由于后一环节的存在，前一环

8、节的输出受到影响，有如加上了一个负载对前一环节产生影响，这种影响称为负载效应。例如，无源网络输入阻抗对前级的影响，齿轮系对电机转动惯量的影响等。实际物理元件和系统都是非线性的。非线性特性分为本