机械工程控制基础 2 数学模型

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1、机械类专业必修课机械工程控制基础主讲人：焦锋机械与动力工程学院2011年9月教学内容0、课程准备1、绪论2、系统的数学模型3、系统的时间响应分析4、系统的频率特性分析5、系统的稳定性分析6、系统的性能指标与校正1河南理工大学机械与动力工程学院教学内容第二章系统的数学模型2河南理工大学机械与动力工程学院引言引言数学模型¾为什么要建立系统的数学模型？¾什么是数学模型？¾如何建立数学模型（建模方法）？3河南理工大学机械与动力工程学院引言为什么建立系统的数学模型－Why？对系统从定性的认识上升到定量的精确

2、认识的需要。研究与分析一个系统，首先要定性地了解系统的工作原理及其特性。但是，如果想对系统进行控制，或系统在运行过程中出现故障，或者要进一步改善系统的性能，那么，仅仅了解工作原理和特性是完全不够的。我们还要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。这就需要建立系统的数学模型。4河南理工大学机械与动力工程学院引言什么是数学模型－What？系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内

3、在的关系。对于同一系统，可以建立多种形式的数学模型。如微分方程、传递函数、时间响应函数、频率特性及状态空间等。时间响应函数微分方程传递函数频率响应函数5河南理工大学机械与动力工程学院引言微分方程时域时间响应传递函数数学模型Bode图复数域Nyquist图频率特性频域6河南理工大学机械与动力工程学院引言如何建立数学模型（建模方法）（How）分析法：根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式。例如：牛顿运动定律、欧姆定律、克希荷夫定律；虎克定律；流体力学。实验法：人为地对系统施加某种测试信号，记

4、录其输出响应通过数据整理，拟合出比较接近实际系统的数学表达式。任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。确要求，来确定出合理的物理模型。7河南理工大学机械与动力工程学院引言本章介绍的内容：系统微典型环节方框图传递函数分方程传递函数及简化考虑扰动反馈控相似原理制系统传递函数8河南理工大学机械与动力工

5、程学院教学内容第一节系统的微分方程9河南理工大学机械与动力工程学院系统的数学模型—系统的微分方程一、系统的微分方程概念及分类微分方程：在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型。利用微分方程可求得其他形式的数学模型，因此是最基本的数学模型。线性定常系统线性系统线性时变系统系统非线性系统10河南理工大学机械与动力工程学院系统的数学模型—系统的微分方程线性系统系统的数学模型能用线性微分方程描述。线性定常系统：微分方程的系数为常数ky′′(t)+ky′(t)+y(t)=x(t)21线性时变系统：微分方

6、程的某一（些)系数随时间的变化。k(t)y′′(t)+k(t)y′(t)+y(t)=x(t)21线性系统特点：可以运用叠加原理。即系统在有多个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求出对应的输出，然后把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。11河南理工大学机械与动力工程学院系统的数学模型—系统的微分方程线性系统叠加原理:线性是指系统满足叠加原理，即：V可加性：f(x+x)=f(x)+f(x)1212V齐次性：f(αx)=αf(x)或：f(αx+βx)=αf(x)+βf(x)121212河南理工大学机

7、械与动力工程学院系统的数学模型—系统的微分方程线性系统对于线性系统来说，状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统。线性系统的状态变量(或输出变量)与输入变量间的因果关系可用一组线性微分方程或差分方程（离散情况下）来描述，这种方程称为系统的数学模型。作为叠加性质的直接结果，线性系统的一个重要性质是系统的响应可以分解为两个部分：零输入响应和零状态响应。前者指由非零初始状态所引起的响应；后者则指由输入引起的响应。两者可分别计算。这一性质为线性系统的分析和研究带来很大方便。1

8、3河南理工大学机械与动力工程学院系统的数学模型—系统的微分方程线性系统严格地说，实际的物理系统都不可能是线性系统。但是，通过近似处理和合理简化，大量的物理系统都可在足够准确的意义下和一定的范围内视为线性系统进行分析。例如一个电子放大器，在小信号下就可以看作是一个线性放大器，只是在大范围时才需要考虑其饱和特性即非线性特性。线性系统的理论比较完整，也便于应用，所以有时对非线性系统也近似地用线性系统来处理。例如在处理输出轴上的摩擦力矩时，常将静摩擦当作与速度成比例的粘性摩擦来处理，以便于