机械工程控制基础 第二章 系统的数学模型

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1、第二章系统的数学模型2.1系统的微分方程2.2相似原理2.3传递函数2.4系统的传递函数方框图及其简化2.5反馈控制系统的传递函数一阶线性微分方程回顾一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程;对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得在闭合回路中,所有支路上的电压降为0例.有一电路如图所示,电阻R和电∼解:列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri经过L的电压降为因此

2、有即初始条件:由回路电压定律:其中电源求电流感L都是常量,∼解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得暂态电流稳态电流∼因此所求电流函数为解的意义:拉普拉斯变换-复习拉普拉斯变换法是一种解线性微分方程的简便运算方法．由于拉普拉斯变换的运用，我们能使许多普通函数，如正弦函数、阻尼正弦函数和指数函数转换成复变数的代数函数．微积分的运算能内在复平面内的代数运算来代替．于是，线性微分方程能转换成复变数的代数方程．微分方程的解可用拉普拉斯变换表，或部分分式展开式求出．拉普拉斯变换法的一个优点是可以用显示系统特

3、性的图解方法来计算，而无需实际去解系统的微分力程．它的另一个优点是当我们解微分方程时，可同时获得解的瞬态分量和稳态分量．拉普拉斯变换的定义本节介绍拉普拉斯变换的定义，对拉普拉斯变换存在的条件作简略的讨论，并举例说明几种常用函数的拉普拉斯变换的推导．拉普拉斯变换的定义如下:f(t)=时间t的函数，而且当t<0时，f(t)=0；s=复变数；L=运算符号，放在某量之前，表示该量用拉普拉斯积分进行变换;s=复变数两个基本函数单位脉冲函数单位阶跃函数拉普拉斯变换的特性(1)线性性衰减定理拉普拉斯变换的特性(2)延时定

4、理时间尺度定理拉普拉斯变换的特性(3)延时定理时间尺度定理拉普拉斯变换的特性(4)初值定理终值定理常用函数的拉普拉斯变换(1)常用函数的拉普拉斯变换(2)拉普拉斯反变换的定义由复变数表达式推导成为时间表达式的数学运算叫做反变换．拉普拉斯反变换的符号是L-1,其数学表达式为求解拉普拉斯反变换的部分分式法如果则通常,在控制系统中用部分分式化简为用拉普拉斯变换法解线性微分方程如果则通常,在控制系统中用部分分式化简为引言许多动态系统，不管它们是机械的、电气的、热力的、液压的，还是经济学的、生物学的等，都可以用微分方

5、程加以描述．如果对这些微分方程求解，就可以获得动态系统对输入量(或称作用函数)的响应．系统的微分方程，可以通过支配着具体系统的物理学定律，例如机械系统中的牛顿定律，电系统中的克希霍夫定律等获得．数学模型系统动态特性的数学表达式、叫做数学模型．要分析动态系统，首先应推导它的数学模型．我们必须牢牢记住，推导一个合理的数学模型，是整个分析过程中最至要的事情．引言随动系统2.1系统的微分方程建立微分方程的一般方法2.1系统的微分方程典型的物理定律2.1系统的微分方程应用相似性2.1系统的微分方程实例12.1系统的微

6、分方程实例22.1系统的微分方程实例32.1系统的微分方程实例42.1系统的微分方程实例5-直流电动机2.1系统的微分方程实例5-增量式2.1系统的微分方程非线性微分方程的线性化2.1系统的微分方程泰勒级数展开-非线性系统的线性近似方法函数y=f(x)在x=x0处展开忽略高次项2.1系统的微分方程泰勒级数展开-多个变量非线性系统的线性近似方法忽略高次项2.1系统的微分方程实例6-液压伺服机构2.1系统的微分方程讨论2.2相似原理相似原理2.2相似原理几个相似2.3传递函数传递函数为G(S)X(S)Y(S)2

7、.3传递函数2.3传递函数传递函数的零点、极点和放大系数传递函数的极点也称为微分方程的特征根2.3传递函数典型函数的传递函数-RC网络2.3传递函数典型函数的传递函数-RC网络2.3传递函数典型环节-比例环节2.3传递函数典型环节-惯性环节2.3传递函数典型环节-微分环节2.3传递函数典型环节-积分环节2.3传递函数典型环节-振荡环节2.3传递函数典型环节-振荡环节例2.3传递函数典型环节-延时节例2.3传递函数典型环节-几点强调2.4系统的传递函数方框图及其简化方框图的特点(1)①方框图是从实际系统抽象出

8、来的数学模型，不代表实际的物理结构，不明显表示系统的主能源。方框图是从传递函数的基础上得出来的，所以仍是数学模型，不代表物理结构。系统本身有的反映能源有的不反映能源，如有源网络和无源网络等，但从方框图上一般不明显表示出来。②能更直观更形象地表示系统中各环节的功能和相互关系，以及信号的流向和每个环节对系统性能的影响。更直观、更形象是针对系统的微分方程而言的。③方框图的流向是单向不可逆的。2.4系统的传递函数方框图及