考前导数解答题(教师版)

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1、``考前导数解答题（教师版）1.（本小题满分15分）已知函数，，（）．（1）求函数的极值；（2）已知，函数，，判断并证明的单调性；（3）设，试比较与，并加以证明．解析：（1），令，得．当时，，是减函数；当时，，是增函数．∴当时，有极小值，无极大值．（2）==，由（1）知在上是增函数，当时，，即，∴，即在上是增函数．（3），由（2）知，在上是增函数，则，令得，．`````2.（本小题满分16分）已知函数（不同时为零的常数），导函数为.（1）当时，若存在使得成立，求的取值范围；（2）求证：函数在内至少有一个零点；（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根

2、，求实数的取值范围.解析：（1）当时，==，其对称轴为直线，当，解得，当，无解，所以的的取值范围为．（2）因为，法一：当时，适合题意当时，，令，则，令，因为，当时，，所以在内有零点．当时，，所以在（内有零点．因此，当时，在内至少有一个零点．综上可知，函数在内至少有一个零点．法二：，，．由于不同时为零，所以，故结论成立．(3)因为=为奇函数，所以,所以，`````又在处的切线垂直于直线，所以，即．因为　所以在上是増函数，在上是减函数，由解得，如图所示，当时，，即，解得；yO1x-1当时，，解得；当时，显然不成立；当时，，即，解得；当时，，故．所以所求的取值范围是或．3.(本小题满分15分

3、)设，两个函数，的图像关于直线对称.（1）求实数满足的关系式；（2）当取何值时，函数有且只有一个零点；（3）当时，在上解不等式．解析：（1）设是函数图像上任一点，则它关于直线对称的点在函数的图像上，，.（2）当时，函数有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线对称，两个函数图像的交点就是函数，的图像与直线的切点.设切点为，，，，,当时，函数有且只有一个零点；`````（3）当=1时，设，则，当时，，，当时，，．在上是减函数.又＝0，不等式解集是．4．(本小题满分16分)已知函数，其中．若函数在它们的图象与坐标轴交点处的切线互相平行．（1）求的值；（2）是否存在直

4、线，使得同时是函数的切线？说明理由．（3）若直线与、的图象分别交于、两点，直线与的图象有两个不同的交点、．记以、、、为顶点的凸四边形面积为，求证：．解析：（1）与坐标轴的交点分别为，由得，由题意知，即，又，所以．（2）假设存在直线同时是函数的切线，设与分别相切于点（），则或表示为，则，要说明是否存在，只需说明上述方程组是否有解．由得，代入得，即，令，`````因为，所以方程有解，则方程组有解，故存在直线，使得同时是函数的切线．（3）设，，则，设，∴，∴，即在上单调递增，又，故在上有唯一零点，设为，则，因此，当时，，∴在上单调递减；当时，，∴在上单调递增，因此，由于，∴，则．设，则，令，

5、则，∴，故．5．（本小题满分12分）设（），曲线在点处的切线方程为（）(1)求、的值；(2)设集合，集合，若，求实数的取值范围．解析：(1)，由题设，∴，又切点为在切线上，∴(2)，∵，∴，，即，设，即，，①若，在上为增函数，，这与题设矛盾；②若方程的判别式，`````当，即时，.在上单调递减，，即不等式成立，当时，方程，设两根为，，，当,单调递增，，与题设矛盾，综上所述，．6．(本小题满分15分)已知函数（为常数），其图象是曲线．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与

6、曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)当时，.令f¢(x)<0，解得，所以f(x)的单调减区间为．(2)，由题意知消去，得有唯一解．令，则，所以在区间，上是增函数，在上是减函数，又，，故实数的取值范围是．(3)设，则点处切线方程为`````与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标．由题意知，，，若存在常数，使得，则，即存在常数，使得，所以解得，．故时，存在常数，使；时，不存在常数，使．7．(本小题满分14分)已知a为实常数，函数(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个不同的零点①求实数a的

7、取值范围；②求证：，且（其中e为自然对数的底数）解析：（I）的定义域为．其导数．①当时，，函数在上是增函数；②当时，在区间上，；在区间上，．所以在是增函数，在是减函数.（II）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，所以，解得，此时，，且，`````令，则，所以在，上单调递增，所以，即所以的取值范围是，②证法一：.设..当时，；当时，；所以在上是增函数，在上是