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1、人口猜测模型的非线性动力学探究 人口新题目不仅是20世纪我国所面临的最重大的新题目之一，而且在新世纪中将继续存在。无论是对我国目前经济发展状况的熟悉，还是对未来经济发展的猜测，人口新题目的探究都具有十分重要的意义。 众所周知，人口的增长并不是按比例线性增长的，也就是说人口新题目是非线性动力学新题目。在非线性系统中，可能会出现分岔现象，分岔理论为我们探究人口新题目提供了一种新的方法。分岔和混沌是非线性系统特有的现象，而实际上我们所处的社会经济系统中的尽大部分都是非线性，因此可以运用分岔和混沌理论来探究。本文将分岔和混沌理论用以
2、探究人口新题目，提出了人口的跨临界分岔。 一、模型的建立 设在时刻t（以年为单位）时的人口数目为p(t)，则人口的增长率为，再假设出生率b(p,t)和死亡率d(p,t)不随时间变化，则由马尔萨斯人口理论可得： 附图 其中：d[,1]=b(p,t)-d(p,t)＞0，一般而言出生率大于死亡率。 显然马尔萨斯模型存在着重大的缺陷，它没有考虑到物种之间的竞争、自然界的平衡和人文环境因素，即生活资料及空间的局限、人和人的竞争、生产力水平、文化水平以及传统观念等因素。 生活资料及空间的局限和人和人的竞争会导致冲突，对人口的增
3、长起到制约的功能。统计规律显示，从人口p(t)中随机抽取一个人，他和其他人冲突的概率和人口总数成正比，即：冲突次数＝k[,1]p(t)，那么个人冲突的总次数为。而制约功能也是随着总次数的增长而增长的，同总次数成正比，以δ[,1](p,t)表示制约功能，则 附图 可以以为影响功能和生产力发展水平α[,2]成反比，和文化发展水平α[,3]成反比，和中国传统观念α[,4]成正比，和人口数目p(t)成正比，用δ[,2](p,t)表示这种影响，则： 附图 假设在未来的若干年内，各地区的人口比例保持不变，则对于某个地区来说，机械迁
4、徙的人口数目和该地区经济发达程度α[,5]成正比，和迁出区的人口数目成正比，由于可以近似地以为各地区的人口比例不变，所以可以以为和该地区的人口数目成正比，则： 附图 二、模型分析 附图 运用稳定性分析方法，可以很轻易地判定其稳定性。 附图 图中，实线表示稳定，虚线表示不稳定。由分岔图可以看出该模型发生跨临界分岔。由分岔图可以看出，在α的某个领域内，当α＞0时，人口数目是稳定增长的；而当α＜0时，从α系数的物理含义上看，说明死亡率大于其他影响因素系数之和，但是此时由于先前α＞0，人口数目已经有所增加，所以能保持人口数
5、目的稳定，同时我们也可以看出只有短期内保持α＜0，人口数目才会稳定。 将再分岔出周期8解、16解等等，大约在3.56994时，进进混沌区，如图2所示。 三、模型的求解 设初始时刻t[,0]的人口为p[,0]，将(5)式分离变量后两边取定积分，进行求解可得： 附图 只要求出α和β，就可以运用(9)式作人口猜测。理论上，只要将两年的年份和人口数目，即：t[,1]、P(t[,1])、t[,2]、P(t[,2])代进(9)式，则可得一个二元方程组，通过求解此二元方程组，便可以得到α和β值，但是此二元方程组为超越方程组，求解十
6、分困难。 生态学家通过大量的统计，以为不鼓励也不限制生养时的α值为0.029，将α代进(9)式则可求得：，可以看出β会随着所代进的t的不同而变化，不再是一个常数，而是一个变量；另一方面，我国实行计划生养，限制了出生率，并且模型(5)中考虑了生活资料和空间的局限性、人和人的竞争、生产力水平、文化水平以及中国传统观念等因素的影响，因此α的值不再是0.029。 基于上述原因，本文采用数值解法，即：确定适当的α和β，使得： 附图 其中：p[,i]是第i年的人口数目。则 附图 根据(11)式求解十分复杂，可以用Matlab或
7、c语言编写一段程序，在一定范围内搜索α和β值，使得(10)式成立。 四、实证分析 本文就河北省1952年～2000年人口数目进行实证分析和检验。众所周知，在建国后近50年中，我国经历了3年自然灾难，80年代开始实行了计划生养政策，这些都会改变动力系统的特征，因此不能将这49年的数据看成是同一动力系统的，而应该将它们分成不同的动力系统：1952年～1959年、1966年～1979年、1980年～1989年、1990年～2000年。3年自然灾难造成了人口数目的骤减，不仅改变了动力系统的特征，而且还造成了1960年～1965年数
8、据的不稳定，应予以剔除；80年代后实行计划生养，但是1989年的***引起了大量人口的机械迁移，因此90年代视为另一个动力系统。 表1数据计算和检验（单位：万人） 附图 由表1可以看出，使用本文所提出的方法，能够较为精确地猜测出人口的数目。四个阶段的α均大于0.029，
