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1、习题1-81.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形:(1);解已知多项式函数是连续函数,所以函数f(x)在[0,1)和(1,2]内是连续的.在x=1处,因为f(1)=1,并且,.所以,从而函数f(x)在x=1处是连续的.综上所述，函数f(x)在[0,2]上是连续函数.(2).解只需考察函数在x=-1和x=1处的连续性.在x=-1处,因为f(-1)=-1,并且,,所以函数在x=-1处间断,但右连续.在x=1处,因为f(1)=1,并且=f(1),=f(1),所以函数在x=1处连续.综合上述讨论,函数在(-¥,-
2、1)和(-1,+¥)内连续,在x=-1处间断,但右连续.2.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1),x=1,x=2;解.因为函数在x=2和x=1处无定义,所以x=2和x=1是函数的间断点.因为,所以x=2是函数的第二类间断点;因为,所以x=1是函数的第一类间断点,并且是可去间断点.在x=1处,令y=-2,则函数在x=1处成为连续的.(2),x=k,(k=0,±1,±2,×××);解函数在点x=kp(kÎZ)和(kÎZ)处无定义,因而这些点都
3、是函数的间断点.因(k¹0),故x=kp(k¹0)是第二类间断点;因为,(kÎZ),所以x=0和(kÎZ)是第一类间断点且是可去间断点.令y
4、x=0=1,则函数在x=0处成为连续的;令时,y=0,则函数在处成为连续的.(3),x=0;解因为函数在x=0处无定义,所以x=0是函数的间断点.又因为不存在,所以x=0是函数的第二类间断点.(4),x=1.解因为.,所以x=1是函数的第一类不可去间断点.3.讨论函数的连续性,若有间断点,判别其类型.解.在分段点x=-1处,因为,,所以x=-1为函数的第一类不可去间断点
5、.在分段点x=1处,因为,,所以x=1为函数的第一类不可去间断点.4.证明:若函数f(x)在点x0连续且f(x0)¹0,则存在x0的某一邻域U(x0),当xÎU(x0)时,f(x)¹0.证明不妨设f(x0)>0.因为f(x)在x0连续,所以,由极限的局部保号性定理,存在x0的某一去心邻域,使当xÎ时f(x)>0,从而当xÎU(x0)时,f(x)>0.这就是说,则存在x0的某一邻域U(x0),当xÎU(x0)时,f(x)¹0.5.试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子:(1)x=0,±1,±2,,×××,±
6、n,,×××是f(x)的所有间断点,且它们都是无穷间断点;解函数在点x=0,±1,±2,,×××,±n,,×××处是间断的,且这些点是函数的无穷间断点.(2)f(x)在R上处处不连续,但
7、f(x)
8、在R上处处连续;解函数在R上处处不连续,但
9、f(x)
10、=1在R上处处连续.(3)f(x)在R上处处有定义,但仅在一点连续.解函数在R上处处有定义,它只在x=0处连续.
