类比学习法在立体几何中的应用

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1、类比学习法在立体几何中的应用江苏省射阳中学（224300）徐达育（15950336266）“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进”（康德）．“类比是一个伟大的引路人”（波利亚）．天文学家开普勒曾经说过：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学里它是最不容忽视的．”所谓类比，就是根据两个对象在某些方面的相同或相似，推出它们在其他方面的相同或相似点的一种推理方法，其思维过程如下：因为对象具有性质，，…及，对象具有性质，，…，所以，对象Ｂ也可能具有性质．其中与，与，…与,与分别相同或相似．我们都知道，平面几何与立体几何在研究对象和研

2、究方法以及构成图形的基本元素等方面都是相同或相似的，因此，通过平面几何与立体几何的类比来学习立体几何，是一种非常有效的方法．（1）——（2）——图1美国的著名数学教育家波利亚则认为：“求解立体几何问题往往有赖于平面几何的类比．”他列举了一个十分典型的例子：在研究直三面角构成的四面体的四个表面面积的关系时，把它和直角三角形的三边关系进行类比．在直角中，是直角，其三边，，的关系有勾股定理：．与它相似的，在立体几何里，四面体中，顶点的三面角是直三面角．它的四个表面积，，，的关系按照形式猜想就可能有：（*）此时，在更特殊的情况下检验：取，可得：，，从而有，，等式（*）不成立，猜想被否定．但是凭直觉

3、，我们仍相信与，，之间存在着某种关系．既然“立方和”的关系不对，那么会不会仍象直角三角形中那样，是一种“平方和”4的关系呢？注意到在上述特殊情形中，有：，.于是我们把猜想改为：．我们找不到反例，就要设法证明，而证法也可以类比．考虑勾股定理的证法：如图1中的（1）所示，作于，则，，从而：．对于直三面角构成的四面体可作类似的证明：如图1中的（2）所示，作于，因为，连，容易证得，从而就有．从这里，我们能够体会到，在学习立体几何时，类比平面几何，有两大重要的功能：1．类比在平面几何中的某些结论，将在平面上成立的这些结论（定理和性质等）进行推广，得出在立体几何中的许多类似的结论，再尝试判断其是否成立

4、．例如，已知:棱台的上底面积S上，下底面积为S下，高为h.求证:V棱台=h(S上++S下).第一步:确定类比对象.最容易想到把梯形选为类比对象.第二步:对类比对象的进一步分析梯形可以认为是因为用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可以认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的,据此,应该有这样的对应关系:梯形的面积棱台的体积第三步:通过类比推理,建立猜想求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形面积公式应该是类似的,于是由梯形的面积公式S梯形=h(a+b).猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式:V棱台=h(S上+S下).第四步:验证猜想上

5、式的正确性要通过严格的证明来确认,在作出正式的证明之前,可以先通过具体的例子,对该公式作检验.把棱锥看作是棱台的特例.即S上=0,因此有V=hS下,和实际结果hS下不符,这表明,猜想的公式是错误的,需要修正,于是设想公式具有V棱台=h(S上+S0+S下4)的形式,其中S0应该是表示面积的量.它究竟是多少还有待进一步确定.此公式与前式相比分母由2变为3,相应的分子从2项变为3项.这些都确如其份地反映了2维与3维的差异.因此公式从整体结构上就给人以一种协调的美感.应该说该公式更合理.既然此式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中S0的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体

6、积公式可知,当S上=0时,S0=0.因此S0应该含有S上的因子;第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式应该具有同等地位,注意到前面两点,我们可以猜想S0具有k的形式;第三,进一步确定k的值.仍然使用特殊化的方法,当S上=S下时,棱台变为棱柱,这时应有V棱台=h(S上+k+S下)=hS0.注意到S上=S下=S0,所以有k=1,因此,S0=,所以,V棱台=h(S上++S下)类似的:由平面几何中，三角形的面积等于底与高乘积的一半，，可以类比得到，在立体几何中，有：正三棱锥的侧面积等于底面周长与斜高的乘积的一半，即；由平面几何中，梯形面积等于上底与下底的和与高的乘积的一半，，

7、可以类比得到，在立体几何中，有：正棱台侧面积等于上底周长与下底周长和与斜高的乘积的一半，即；由平面几何中，矩形面积等于长乘宽，，可以类比得到，在立体几何中，有：正棱柱的侧面积等于底面周长乘以高，即，长方体的体积等于长乘宽乘高，即等等．图2工1．由立体几何问题，运用类比的方法，构造辅助的平面几何问题，通过这个辅助的平面几何问题的解决，类比猜想立体几何问题的解决方法．例如，求证：正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值．我们