利用cai演绎微分中值定理间的联系

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1、利用CAI演绎微分中值定理间的联系利用CAI演绎微分中值定理间的联系　微分中值定理通常包含罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，是微积分学中重要的基本定理。这些微分中值定理揭示了函数的差商及其导数之间的内在联系,是导数应用的理论基础。利用微分中值定理，可以研究函数及曲线的某些性态，并可以由此解决一些实际问题[1]。在微分中值定理的教学中，需要通过引导学生观察定理的几何表示，了解微分中值定理之间的联系，理解定理的条件及结论，启发学生构造辅助函数证明拉格朗日定理和柯西定理，并能合理地应用定理解决相关的数学问题。　　1教学内容的安排　　1.1微分

2、中值定理之间的联系　　通常在说明微分中值定理之间的联系时，会指出罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情形，拉格朗日定理是柯西定理的特殊情形，并说明这三个定理实际上描述的是在不同坐标系中的同一几何现象。但在用几何图示说明罗尔定理与拉格朗日定理的联系时，如果只是通过图1、图2这样的图形来解释它们的联系，就容易发现在图中的坐标系没变化，而是曲线发生了变化。这样表示的图形并不能很好地贴近教学内容，不能很好地引导学生通过观察几何现象来得到想要说明的结论。如果换一种方式，借助卡瓦列里定理[2]，将曲线不变，在平面上分别建立不同的直角坐标系，引导学生通过观察

3、三个微分中值定理的几何图示（见图2、图3、图4），就能得出这三个定理可以看作是平面中的同一个几何现象，在建立的不同平面直角坐标系中，用不同的条件和结论描述的定理。　　.L.　　图1罗尔定理　　　　图2拉格朗日定理　　　　图3罗尔定理（2）　　　　图4柯西定理　　1.2微分中值定理的证明　　同济六版的《高等数学》在微分中值定理这一部分的内容中，依次介绍费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。在证明费马引理之后，利用费马引理证明罗尔定理，利用罗尔定理来证明拉格朗日定理和柯西定理。微分中值定理的证明有很多方法[3]。在基于学生能掌握的基础

4、知识、结合教材内容展开的教学过程中，很多中值定理的证明方法及思路并不适合在教学中应用，但可以在课后作为学生理解教学内容的参考和借鉴。一般还是采用教材提供的内容构架和证明方法引导学生去观察和思考。可以利用CAI手段，突出地表现函数动态变化的过程，将函数的性态、定理之间的联系及定理的证明思路演绎得更清楚。　　2教学过程的分析与课件的制作　　结合学生的实际情况及教材的安排，可以采用这样的教学过程：首先演绎卡瓦列里定理，引导学生观察几何现象的特点；然后分别建立不同的平面直角坐标系，描述观察到的几何现象来得到罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理；接着

5、在分析罗尔定理的证明思路时引入费马引理；在证明罗尔定理后，通过几何动态过程启发学生构造辅助函数来证明拉格朗日定理和柯西定理。在教学过程中，需要重点演示的内容就是三个微分中值定理间的联系、罗尔定理的证明思路及如何构造辅助函数来证明拉格朗日定理。通过合理地使用多媒体课件引导学生分析与思考，能达到较好的教学效果。制作多媒体课件的软件和方法有很多[4]，可以采用常用的Podash;添加效果动作路径绘制自定义路径直线，指定路径将直线段由弦开始平行移动至与曲线相切。采用同样的方法演示第二条切线的存在（见图5）。　　　　图5卡瓦列里定理　　2.2演绎

6、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理的联系　　在得到的ppt页面中，先后制作相应的平面直角坐标系（见图3、图2、图4），引导学生观察，体会到几何曲线不变，变化的只是相应的坐标系，分别写出相应的条件及结论得到罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理，并指出这三个定理是对在不同直角坐标系中的同一几何现象的描述。　　2.3演绎罗尔定理的证明　　在启发学生去如何证明罗尔定理过程中，如图3放置的坐标系毕竟不是常用状态。为了更好地引导学生观察几何图形的特点，需要将图3中的几何图形（包含坐标轴）绕直角坐标系的坐标原点旋转至坐标横轴水平。在常用坐标系的状态下引导学

7、生观察几何图形中切线对应的切点的特点：曲线的峰点或谷点。在引入费马引理后，利用导数的定义及导数存在的充分必要条件证明费马引理。在课件中，需要演示几何图形绕坐标原点旋转。Podash;添加效果强调陀螺旋中选择合理的旋转方向及角度，就可以演示将整个图形（包含坐标轴）绕坐标原点旋转到合适的位置，使得坐标横轴水平[5]，就能在通常状态的直角坐标系下演示罗尔定理的证明（见图6）。　图6罗尔定理（旋转）　　2.4演绎证明拉格朗日定理所需的辅助函数的构造　　拉格朗日定理的证明思.L.路，一般是通过构造辅助函数，利用罗尔定理来证明。证明的关键之处是引导

8、学生寻找在区间[a,b]的两个端点a,b之处具有相同性态的函数。这样的辅助函数有很多，通常采用的辅助函数是y=f(x)-L(x),x∈[a,b][6]。通过动点分别沿着曲线f(x)和弦AB移动来发