高中-数学立体几何--讲义(一)

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1、~平面与空间直线(Ⅰ)、平面的基本性质及其推论1、空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言（读法）点在直线上。点不在直线上。点在平面内。点不在平面内。直线、交于点。直线在平面内。直线与平面无公共点。直线与平面交于点。平面、相交于直线。（平面外的直线）表示或。2、平面的基本性质公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：。如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。~~~~公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有

2、这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。推理模式：且且唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。αDCBAEFHG例1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．解：∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β．又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线．说明：在立体几何

3、的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．αDCBAl例2βM例2．如图，已知平面α，β，且αβ＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．证明∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB，CD必定相交于一点，设ABCD＝M．又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈αβ．又∵αβ＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的

4、．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推理模式：不共线存在唯一的平面，使得。应用：①确定平面；②证明两个平面重合。例3．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．~~~~证明1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，但AÏd，如图1．αbadcGFEA图1∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α．∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．同理可证bα，cα．∴a，b，c，d在同一平面α内．abcdαHK图22o当四条直线中

5、任何三条都不共点时，如图2．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．又H，K∈c，∴c,则cα．同理可证dα．∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个

6、”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证。推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。推理模式：存在唯一的平面，使得，。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推理模式：存在唯一的平面，使得。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。推理模式：存在唯一的平面，使得。练习：1．如图，在平行六面体ABCD

7、－A1B1C1D1的中，A1C1B1D1＝O1，B1D平面A1BC1＝~~~~P．求证：P∈BO1．证明在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，A1ABB1DD1CC1O1P∵B1D平面A1BC1＝P，∴P∈平面A1BC1，P∈B1D．∵B1D平面BB1D1D．∴P∈平面A1BC1，且P∈平面BB1D1D．∴P∈平面A1BC1平面BB1D1D，∵A1C1B1D1＝O1，A1C1平面A1BC1，B1D1平面BB1D1D，∴O1∈平面A1BC1，且O1∈平面BB1D1D．又B∈平面A1BC1，且B∈平面BB1D1D，∴平面A1BC1平面BB1

8、D1D＝BO1．∴P∈BO1说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上。（Ⅱ）、空间两条直线1、空间两直线的位置关系：（1）相交——有且只有一个