函数的单调性和奇偶性精品--讲义

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1、~第三讲函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性(1)定义:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1f(x2)),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数),区间D为函数y=f(x)的增区间(减区间)概括起来,即(2)函数单调性的证明的一般步骤:①设,是区间D上的任意两个实数,且②作差,并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子;③确定的符号;④给出结论证明函

2、数单调性时要注意三点:①和的任意性,即从区间D中任取和,证明单调性时不可随意用量额特殊值代替;②有序性,即通常规定;③同区间性,即和必须属于同一个区间。(3)设复合函数是定义区间M上的函数,若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相反,则在区间M上是减函数;若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同,则在区间M上是增函数。概括起来,即“同增异减II号”(4)简单性质:①与单调性相同;与及单调性相反②在公共定义域内:增函数增函数是增函数;减函数减函数是减函数;增函数减函数是增函数;减函数增函数是减函

3、数。(5)必须掌握特殊函数单调性①一次函数:~~~~②二次函数:③反比例函数:④双钩函数:注:①函数的多个单调区间通常不能用并集联接;②单调区间的端点只要在定义域内就要加上③增函数在图像上反映出来就是“向上”,减函数从图像上反映出来就是“向下”函数的最值(1)定义:的最大值:最大的函数值;的最小值:最小的函数值(2)求最值方法与求值域方法类似函数的奇偶性1.定义:①设y=f(x),定义域为A且A关于原点对称,如果对于任意∈A,都有,称y=f(x)为偶函数。②设y=f(x),定义域为A且A关于原点对称

4、,如果对于任意∈A,都有,称y=f(x)为奇函数。概括起来,即,2.函数奇偶性的判断的步骤:①求定义域,若定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数也不是偶函数;若定义域关于原点对称,则判断与的关系②判断与的关系,若,则为偶函数;若,则为奇函数;若且,则既是奇函数又是偶函数;若且,则函数既不是奇函数也不是偶函数3.性质:(1)若为奇函数,则:①;②图像关于原点对称;③0在定义域内时有;④在关于原点对称的区间上单调性相同⑤几种特殊的奇函数,,,(2)若为偶函数,则:①;②图像关于轴对称③在关于原点对称的

5、区间上单调性相反;④几种特殊的偶函数:,,~~~~注:①若二次函数为偶函数,则;②在同一定义域内,,,;③既是奇函数又是偶函数的函数只有一个解析式二、典例例题解析:题型一单调性的定义例1定义在上的函数对任意两个不相等的实数总有,试判断单调性。例2若在区间上是增函数,在区间上也是增函数,则函数在区间上()A.必是增函数B.必是减函数C.是增函数或减函数D.无法确定单调性变式训练下列说法中正确的有______个①若,当时,,则在上是增函数②函数在上是增函数;③函数在定义域上是增函数;④的单调区间是题型二

6、单调性的证明例1证明函数在区间上为减函数例2证明函数在其定义域内是减函数例3已知函数在上为增函数,且,试判断在上的单调性,并给出证明过程~~~~题型三利用单调性求函数值域和最值例1求下列函数的最值①;②;③④⑤变式如果函数,求的单调区间和值域例2已知在,上是减函数,求的取值范围变式1已知的减区间是,求的值变式2函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为()A、42,12B、42,-C、12,-D、无最大值,最小值-.变式3函数y=2x2-(a-1)x+3在(-∞,1]内递

7、减,在(1,+∞)内递增,则a的值是(  )A.1     B.3C.5D.-1XYO例3若在区间上是减函数,求的的取值范围~~~~变式1函数的图象如图所示:则的单调减区间是()变式2、已知是R上的减函数,那么的取值范围是()题型四抽象函数的单调性例1已知函数是上的增函数,且,求的取值范围变式已知函数的定义域为,且在区间上是增函数且,求的取值范围例2已知函数在上是减函数,比较与的大小例3已知定义在区间上的函数满足,且当时①求的值;②判定的单调性;③若,求在上的最小值变式已知定义在区间上的增函数满足,

8、,解不等式~~~~例1函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的x,y∈(0,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(4)=5.(1)求f(2)的值;(2)解不等式f(m-2)≤3变式已知函数定义域为,且对,恒有,且,当时,①求②证明:在上为增函数题型五函数的奇偶性概念例1下列说法中错误的个数为()①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数②图像关于轴对称的函数是偶函数③奇函数的图像一定过坐标原点④偶函数的图像一定与轴相交A.4B.3C.2D.0变

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