函数的单调性和奇偶性精品讲义

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1、第三讲函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性（1）定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数），区间D为函数y=f(x)的增区间（减区间）概括起来，即（2）函数单调性的证明的一般步骤：①设，是区间D上的任意两个实数，且②作差，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子；③确定的符号；④给出结论证明函数单调性时要注意三点：①和的任意性，即从区间D中任取和，证

2、明单调性时不可随意用量额特殊值代替；②有序性，即通常规定；③同区间性，即和必须属于同一个区间。（3）设复合函数是定义区间M上的函数，若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相反，则在区间M上是减函数；若外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同，则在区间M上是增函数。概括起来，即“同增异减II号”（4）简单性质：①与单调性相同；与及单调性相反②在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。（5）必须掌握特殊函数单调性①一次函数：9②二次函数：③反比例函数：④双钩函数：注：①函数的多个单调区间通常不

3、能用并集联接；②单调区间的端点只要在定义域内就要加上③增函数在图像上反映出来就是“向上”，减函数从图像上反映出来就是“向下”函数的最值（1）定义：的最大值：最大的函数值；的最小值：最小的函数值（2）求最值方法与求值域方法类似函数的奇偶性1．定义:①设y=f(x)，定义域为A且A关于原点对称，如果对于任意∈A，都有，称y=f(x)为偶函数。②设y=f(x)，定义域为A且A关于原点对称，如果对于任意∈A，都有，称y=f(x)为奇函数。概括起来，即，2．函数奇偶性的判断的步骤：①求定义域，若定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于原点

4、对称，则判断与的关系②判断与的关系，若，则为偶函数；若，则为奇函数；若且，则既是奇函数又是偶函数；若且，则函数既不是奇函数也不是偶函数3.性质：（1）若为奇函数，则：①；②图像关于原点对称；③0在定义域内时有；④在关于原点对称的区间上单调性相同⑤几种特殊的奇函数，，，（2）若为偶函数，则：①；②图像关于轴对称③在关于原点对称的区间上单调性相反；④几种特殊的偶函数：，，9注：①若二次函数为偶函数，则；②在同一定义域内，，，；③既是奇函数又是偶函数的函数只有一个解析式二、典例例题解析：题型一单调性的定义例1定义在上的函数对任意两个不相等的实数总有，试判断单调

5、性。例2若在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上（）A.必是增函数B.必是减函数C.是增函数或减函数D.无法确定单调性变式训练下列说法中正确的有＿＿＿＿＿＿个①若，当时，，则在上是增函数②函数在上是增函数；③函数在定义域上是增函数；④的单调区间是题型二单调性的证明例1证明函数在区间上为减函数例2证明函数在其定义域内是减函数例3已知函数在上为增函数，且，试判断在上的单调性，并给出证明过程9题型三利用单调性求函数值域和最值例1求下列函数的最值①；②；③④⑤变式如果函数，求的单调区间和值域例2已知在，上是减函数，求的取值范围变式1已知的减区间是，

6、求的值变式2函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为（）A、42,12B、42，-C、12，-D、无最大值，最小值-.变式3函数y＝2x2－(a－1)x＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a的值是(　　)A.1　　　　　B.3C.5D.－1XYO例3若在区间上是减函数，求的的取值范围9变式1函数的图象如图所示：则的单调减区间是（）变式2、已知是R上的减函数，那么的取值范围是（）题型四抽象函数的单调性例1已知函数是上的增函数，且，求的取值范围变式已知函数的定义域为，且在区间上是增函数且，求的取值范围例2已知函数在

7、上是减函数，比较与的大小例3已知定义在区间上的函数满足，且当时①求的值；②判定的单调性；③若，求在上的最小值变式已知定义在区间上的增函数满足，，解不等式9例1函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≤3变式已知函数定义域为，且对，恒有，且，当时，①求②证明：在上为增函数题型五函数的奇偶性概念例1下列说法中错误的个数为（）①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数②图像关于轴对称的函数是偶函数③奇函数的图像一定过坐标原点④偶

8、函数的图像一定与轴相交A.4B.3C.2D.0变式下列判断正确的是（）A.定义在