函数的单调性(精品讲义)

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1、都江堰校区（数学）辅导讲义任课教师:岳老师Tel:18180622169课题函数的单调性基础盘查一　函数的单调性1．判断正误(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性(　　)(2)函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)(　　)(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”(　　)(4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)(　　)(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)(　　)2．(人教A版教材习题改编)函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为________．3．若

2、函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则k的取值范围是________．基础盘查二　函数的最值4．判断正误(1)所有的单调函数都有最值(　　)(2)函数y＝在[1,3]上的最小值为(　　)5．(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，则函数的最大值为________．【答案】1．(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×；2．[2,4]；3．；4．(1)×(2)√；5．2[必备知识1]：单调性的定义设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1

3、x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2)．设x1，x2∈[a，b]，如果>0，则f(x)在[a，b]上是单调递增函数，如果<0，则f(x)在[a，b]上是单调递减函数．[必备知识2]：确定单调性的方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再取值—作差—变形—确定符号—下结论．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．[典题例析]【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)A．f(x)＝3－x　　　　　　

4、　B．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－D．f(x)＝－

5、x

6、【解析】选C　当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－

7、x

8、为减函数．故选C.【例2】判断函数g(x)＝在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x10，因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)

9、1，＋∞)上是增函数．[必备知识2]：求函数的单调区间与确定单调性的方法一致[典题例析]【例3】求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3

10、x

11、；　(2)f(x)＝

12、x2＋2x－3

13、；(3)y＝－x2＋2

14、x

15、＋1.【解】(1)∵f(x)＝3

16、x

17、＝图象如图所示．f(x)在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝

18、x2＋2x－3

19、的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递

20、减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y＝即y＝画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．【例4】求函数y＝的单调区间．【解】令u＝x2＋x－6，y＝可以看作有y＝与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在(0，＋∞)上是增函数．∴y＝的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．[必备知识3]复合函数单调性的判断利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数y＝f(x)在区间[a

21、，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)．【多角探明】函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.角度一：求函数的值域或最值【例5】函数f(x)＝的最大值为________．【解析】当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x