函数的单调性与奇偶性讲义

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1、翰林教育高三数学陶老师函数的单调性与奇偶性讲义【一】基础知识1．函数的单调性（1）定义：（2）判定方法（i）定义法（ii）图象法（iii）根据已知函数的单调性（iv）导数法（3）复合函数的单调性2.函数的奇偶性（1）定义（2）性质：偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称。（2）判断方法：（i）定义法（ii）图象法(iii)若两个函数的定义域相同，则a.两个偶函数的和为偶函数；b.两个奇函数的和为奇函数；c.两个奇函数的积为偶函数；d.两个偶函数的积为偶函数；e.一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数。（3）定义域关于原点对称是一个函数为偶函数或奇函数的必要条件。【二】例题讲析例1．判断

2、下列函数的奇偶性（1）（2）（3）（4）例2．已知函数是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程的所有实根之和是（）(A)4(B)2(C)6(D)0例3．（1）设f(x)是偶函数，且在上为增函数，则其在地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）翰林教育高三数学陶老师上单调性如何？奇函数呢？（2）设为偶函数，且在上存在最大值，则在上有最大值吗？奇函数呢？例4．设f(x)在R上是偶函数，在区间上递增，且求的取值范围。例5．已知是奇函数，且当时，求时，的表达式。例6．求函数的单调递增区间。例7．求函数的单调区间。【三】能力训练：1．函数在区间上是减函数，实数的取值范围是（）(A)(

3、B)(C)(D)2．函数下列命题正确的是（）(A)若在和上都是增函数，则是增函数。(B)若在和上都是减函数，则是减函数。(C)若是偶函数，在上是增函数，则在上也是增函数。(D)若是奇函数，在上是增函数，则在上也是增函数。3．若是奇函数，且在上单调递增，又则的解集为（）(A)(B)(C)(D)4.下列命题中错误的是（）地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）翰林教育高三数学陶老师(A)若偶函数在区间上单调递增，则它在上单调递减。(B)若奇函数在区间上单调递减，则它在上单调递减。(C)偶函数在定义域内不是单调函数。(D)奇函数在定义域内一定是单调函数。5．若是偶函数，在上是增

4、函数，则和的大小关系是　　（　）(A)(B)(C)(D)无法确定6．函数为奇函数，且时，则的解析式为（）(A)(B)(C)(D)7.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（）(A)(B)(C)(D)8．函数的单调增区间为.9．若函数是奇函数，则.10．函数是定义在上的奇函数，且是增函数，满足，求实数的取值范围。18．求下列函数的单调递增区间。（1）（2）（3）（4）地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）翰林教育高三数学陶老师19（07安徽）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为A.0B.1C.3D.52

5、0（07天津）在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数【四】精品测试：一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x＋2)＝13，f(1)＝2，则f(99)＝(　　)A．13　　　　　B．2C.D.解析：由f(x)·f(x＋2)＝13，知f(x＋2)·f(x＋4)＝13，所以f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期函数，周期为4.所以f(99)

6、＝f(3＋4×24)＝f(3)＝＝.答案：C2．(2010·郑州)定义在R上的函数f(x)满足：对于任意α，β∈R，总有f(α＋β)－[f(α)＋f(β)]＝2010，则下列说法正确的是(　　)A．f(x)－1是奇函数B．f(x)＋1是奇函数C．f(x)－2010是奇函数D．f(x)＋2010是奇函数解析：依题意，取α＝β＝0，得f(0)＝－2010；取α＝x，β＝－x，得f(0)－f(x)－f(－x)＝2010，f(－x)＋2010＝－[f(x)－f(0)]＝－[f(x)＋2010]，因此函数f(x)＋2010是奇函数，选D.地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）翰林

7、教育高三数学陶老师答案：D3．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，f(x)＝log(1－x)，则函数f(x)在(1,2)上(　　)A．是增函数，且f(x)<0B．是增函数，且f(x)>0C．是减函数，且f(x)<0D．是减函数，且f(x)>0解析：由题意得当x∈(1,2)时，0<2－x<1,0