随机信号分析(常建平+李海林)习题答案解析

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1、WORD格式可编辑1-9已知随机变量X的分布函数为求：①系数k；②X落在区间内的概率；③随机变量X的概率密度。解：第①问利用右连续的性质k＝1第②问第③问专业技术资料整理WORD格式可编辑1-10已知随机变量X的概率密度为（拉普拉斯分布），求：①系数k②X落在区间内的概率③随机变量X的分布函数解：第①问第②问随机变量X落在区间的概率就是曲线下的曲边梯形的面积。第③问专业技术资料整理WORD格式可编辑1-11某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进

2、出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？汽车站出事故的次数不小于2的概率答案专业技术资料整理WORD格式可编辑1-12已知随机变量的概率密度为求：①系数k？②的分布函数？③？第③问方法一：联合分布函数性质：若任意四个实数，满足，则方法二：利用专业技术资料整理WORD格式可编辑1-13已知随机变量的概率密度为①求条件概率密度和？②判断X和Y是否独立？给出理由。先求边缘概率密度、注意上下限的选取专业技术资料整理WORD格式可编辑1-14已知离散型随机变量X的分布律为3670.20.10.7求：①X的分布函

3、数②随机变量的分布律1-15已知随机变量X服从标准高斯分布。求：①随机变量的概率密度？②随机变量的概率密度？分析:①②答案:专业技术资料整理WORD格式可编辑1-16已知随机变量和相互独立，概率密度分别为，求随机变量的概率密度？解：设求反函数，求雅克比J＝－11-17已知随机变量的联合分布律为求：①边缘分布律和？②条件分布律和？专业技术资料整理WORD格式可编辑分析：泊松分布P19（1－48）解：①②即X、Y相互独立专业技术资料整理WORD格式可编辑1-18已知随机变量相互独立，概率密度分别为。又随机变量证明：随

4、机变量的联合概率密度为专业技术资料整理WORD格式可编辑因为

5、J

6、＝1,故已知随机变量相互独立，概率密度分别为专业技术资料整理WORD格式可编辑1-19已知随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为求其数学期望与方差？解:专业技术资料整理WORD格式可编辑1-20已知随机变量X可能取值为，且每个值出现的概率均为。求：①随机变量X的数学期望和方差？②随机变量的概率密度？③Y的数学期望和方差？①③答案:②Y3122748P1/51/51/52/5离散型随机变量的概率密度表达式　　　　　P12，1-25式其中为冲激函数专

7、业技术资料整理WORD格式可编辑1-22已知两个随机变量的数学期望为，方差为，相关系数。现定义新随机变量为求的期望，方差以及它们的相关系数？　　　　　　　　　　0.13专业技术资料整理WORD格式可编辑1-23已知随机变量满足，皆为常数。证明：①；②；③当且时，随机变量正交。①②③专业技术资料整理WORD格式可编辑1-25已知随机变量相互独立，分别服从参数为和的泊松分布。①求随机变量X的数学期望和方差？②证明服从参数为的泊松分布。解：①泊松分布特征函数的定义由(1-17题用过)可得②根据特征函数的性质，XY相互独

8、立，表明Z服从参数为的泊松分布专业技术资料整理WORD格式可编辑1-26已知随机变量的联合特征函数为求：①随机变量X的特征函数②随机变量Y的期望和方差解：①②专业技术资料整理WORD格式可编辑1-28已知两个独立的随机变量的特征函数分别是和，求随机变量特征函数？解：特征函数的性质：相互独立随机变量和的特征函数等于它们特征函数之积X、Y独立，因此有和独立独立的等价条件（充分必要条件）①②③1-29已知二维高斯变量中，高斯变量的期望分别为专业技术资料整理WORD格式可编辑，方差分别为，相关系数为。令①写出二维高斯变量

9、的概率密度和特征函数的矩阵形式，并展开；②证明相互独立，皆服从标准高斯分布。解：，，系数矩阵，线性变换，故也服从高斯分布，故不相关，高斯变量不相关和独立等价，独立专业技术资料整理WORD格式可编辑1-30已知二维高斯变量的两个分量相互独立，期望皆为0，方差皆为。令其中为常数。①证明：服从二维高斯分布；②求的均值和协方差矩阵；③证明：相互独立的条件为。复习：n维高斯变量的性质1.高斯变量的互不相关与独立是等价的2.高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。3.高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布解：①②③相互独立、二维高斯矢

10、量因此互不相关只要证为对角证即专业技术资料整理WORD格式可编辑1-31已知三维高斯随机矢量均值为常矢量，方差阵为证明：相互独立。复习：n维高斯变量的性质1.高斯变量的互不相关与独立是等价的2.高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。3.高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布思路：设随机矢量由性质可得为三维高斯变量，求得方差阵为对角阵专业技术资料整理WORD格式可编辑1-32已知三