随机信号分析(常建平+李海林)习题集答案解析

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1、1-9已知随机变量X的分布函数为求：①系数k；②X落在区间内的概率；③随机变量X的概率密度。解：第①问利用右连续的性质k＝1第②问第③问1-10已知随机变量X的概率密度为（拉普拉斯分布），求：①系数k②X落在区间内的概率③随机变量X的分布函数解：第①问第②问随机变量X落在区间的概率就是曲线下的曲边梯形的面积。第③问1-11某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？汽车站出事故的次数

2、不小于2的概率答案1-12已知随机变量的概率密度为求：①系数k？②的分布函数？③？第③问方法一：联合分布函数性质：若任意四个实数，满足，则方法二：利用1-13已知随机变量的概率密度为①求条件概率密度和？②判断X和Y是否独立？给出理由。先求边缘概率密度、注意上下限的选取1-14已知离散型随机变量X的分布律为3670.20.10.7求：①X的分布函数②随机变量的分布律1-15已知随机变量X服从标准高斯分布。求：①随机变量的概率密度？②随机变量的概率密度？分析:①②答案:1-16已知随机变量和相互独立，

3、概率密度分别为，求随机变量的概率密度？解：设求反函数，求雅克比J＝－11-17已知随机变量的联合分布律为求：①边缘分布律和？②条件分布律和？分析：泊松分布P19（1－48）解：①②即X、Y相互独立1-18已知随机变量相互独立，概率密度分别为。又随机变量证明：随机变量的联合概率密度为因为

4、J

5、＝1,故已知随机变量相互独立，概率密度分别为1-19已知随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为求其数学期望与方差？解:1-20已知随机变量X可能取值为，且每个值出现的概率均为。求：①随机变量X的数学期望和方差

6、？②随机变量的概率密度？③Y的数学期望和方差？①③答案:②Y3122748P1/51/51/52/5离散型随机变量的概率密度表达式　　　　　P12，1-25式其中为冲激函数1-22已知两个随机变量的数学期望为，方差为，相关系数。现定义新随机变量为求的期望，方差以及它们的相关系数？　　　　　　　　　　0.131-23已知随机变量满足，皆为常数。证明：①；②；③当且时，随机变量正交。①②③1-25已知随机变量相互独立，分别服从参数为和的泊松分布。①求随机变量X的数学期望和方差？②证明服从参数为的泊松分

7、布。解：①泊松分布特征函数的定义由(1-17题用过)可得②根据特征函数的性质，XY相互独立，表明Z服从参数为的泊松分布1-26已知随机变量的联合特征函数为求：①随机变量X的特征函数②随机变量Y的期望和方差解：①②1-28已知两个独立的随机变量的特征函数分别是和，求随机变量特征函数？解：特征函数的性质：相互独立随机变量和的特征函数等于它们特征函数之积X、Y独立，因此有和独立独立的等价条件（充分必要条件）①②③1-29已知二维高斯变量中，高斯变量的期望分别为，方差分别为，相关系数为。令①写出二维高斯变

8、量的概率密度和特征函数的矩阵形式，并展开；②证明相互独立，皆服从标准高斯分布。解：，，系数矩阵，线性变换，故也服从高斯分布，故不相关，高斯变量不相关和独立等价，独立1-30已知二维高斯变量的两个分量相互独立，期望皆为0，方差皆为。令其中为常数。①证明：服从二维高斯分布；②求的均值和协方差矩阵；③证明：相互独立的条件为。复习：n维高斯变量的性质1.高斯变量的互不相关与独立是等价的2.高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。3.高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布解：①②③相互独立、二维高斯矢量因此互不相关只

9、要证为对角证即1-31已知三维高斯随机矢量均值为常矢量，方差阵为证明：相互独立。复习：n维高斯变量的性质1.高斯变量的互不相关与独立是等价的2.高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。3.高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布思路：设随机矢量由性质可得为三维高斯变量，求得方差阵为对角阵1-32已知三维高斯随机变量各分量相互独立，皆服从标准高斯分布。求和的联合特征函数？思路：是线性变换故也服从高斯分布，求得就可以写出联合特征函数，线性变换，故也服从高斯分布N维高斯变量的联合特征函数2、已知随机变量(X,Y)的

10、联合概率密度为(1)条件概率密度(2)X和Y是否独立？给出理由。解题思路：解：(1)(2)X和Y不相互独立4、已知(X1,X2,X3)是三维高斯变量，其期望和方差为求：(1)(X1,X2)的边缘特征函数。(2)(Y1,Y2)的联合概率密度高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布所以(X1,X2)、服从高斯分布(1)(2)2-1已知随机过程，其中为常数，随机变量服从标准高斯分布。求三个时刻的一维概率密度？解：(离散型随机变量分布律)2-2如图2.23所示，已知随机过程仅由四条样本函数组成，