《高等工程力学》讲义第9章结构弹性稳定计算(正式)

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1、第四篇结构弹性稳定计算第9章结构弹性稳定计算9.1两类稳定问题概述在结构设计中，除保证结构必须满足强度条件和刚度条件外，往往还应进行结构稳定性的验算。在结构稳定计算中，需要对结构的平衡状态作更深层次的考察。从稳定性角度来考察，平衡状态实际上有三种不同的情况：稳定平衡状态、不稳定平衡状态和中性平衡状态。设结构原来处于某个平衡状态，后来由于受到轻微干扰而稍微偏离其原来位置。当干扰消失后，如果结构能够回到原来的平衡位置，则原来的平衡状态为稳定平衡状态；如果结构继续偏离，不能回到原来位置，则原来的平衡状态称为不稳定平衡状态

2、。结构由稳定平衡到不稳定平衡的中间过渡状态称为中性平衡状态。在结构稳定计算中，通常仍采用小挠度理论，其优点是可以用比较简单的方法得到基本正确的结论。如果希望得到更精确的结论，则需要采用较为复杂的大挠度理论。随着荷载的逐渐增大，结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态。这时原始平衡状态丧失其稳定性，简称为失稳。结构的失稳有两种基本形式：分支点失稳和极值点失稳。下面以压杆为例加以说明。9.1.1分支点失稳图9-1（a）所示为简支压杆的完善体系或理想体系：杆件轴线是理想的直线（没有初曲率），荷载P是理想的

3、中心受压荷载（没有偏心）。随着压力P逐渐增大的过程，我们考察压力P与中点挠度Δ之间的关系曲线，称为P-Δ曲线或不平衡路径（图9-1（b））。图9-1分支点失稳（a）理想的中心受压杆；（b）P－Δ曲线当荷载值Pl小于欧拉临界值时，压杆只是单纯受压，不发生弯曲变形（挠度Δ＝0），压杆处于直线形式的平衡状态（称为原始平衡状态）。在图9-1（b）中，其P-Δ曲线由直线OAB表示，称为原始平衡路径（路径Ⅰ）。如果压杆受到轻微干扰而发生弯曲，偏离原始平衡状态，则当干扰消失后，压杆仍又回到原始平衡状态。因此，当P＜Pcr时，原始

4、平衡状态是稳定的。也就是说，在原始平衡路径Ⅰ上，点A所对应的平衡状态是稳定的。这时原始平衡形式是唯一的平衡形式。当荷载值P2大于Pcr时，原始平衡形式不再是唯一的平衡形式，压杆既可处于直线形式的平衡状态，还可处于弯曲形式的平衡状态。也就是说，这时存在两种不同形式的平衡状态。与此相应，在图9-1（b）中也有两条不同的P-Δ曲线：原始平衡路径Ⅰ（由直线BC表示）和第二平衡路径Ⅱ（根据大挠度理论，由曲线BD表示。如果采用小挠度理论进行近似计算，则曲线BD退化为水平直线BD′）。进一步还可看出，这时原始平衡状态（C点）是不

5、稳定的。如果压杆受到干扰而弯曲，则当干扰消失后，压杆并不能回到C点对应的原始平衡状态，而是继续弯曲，直到图中D点对应的弯曲形式的平衡状态为止。因此，当P2＞Pcr时，在原始平衡路径Ⅰ上，点C所对应的平衡状态是不稳定的。两条平衡路径Ⅰ和Ⅱ的交点B称为分支点。分支点B将原始平衡路径Ⅰ分为两段：前段OB上的点属于稳定平衡，后段BC上的点属于不稳定平衡。也就是说，在分支点B处，原始平衡路径Ⅰ与新平衡路径Ⅱ同时并存，出现平衡形式的二重性，原始平衡路径Ⅰ由稳定平衡转变为不稳定平衡，出现稳定性的转变。具有这种特征的失稳形式称为分

6、支点失稳形式。分支点对应的荷载称为临界荷载，对应的平衡状态称为临界状态。分支点失稳又称为第一类失稳。图9-2分支点失稳（a）受结点荷载的刚架；（b）受水压力的圆拱；（c）窄条梁其他结构也可能出现分支点失稳现象，其特征仍然是在分支点P＝Pcr处，原始平衡形式由稳定转为不稳定，并出现新的平衡形式。例如9-2（a）所示承受结点荷载的刚架，在原始平衡形式中，各柱单纯受压，刚架无弯曲变形；在新的平衡形式中，刚架产生侧移，出现弯曲变形。又如图9-2（b）所示承受静水压力的圆拱，在原始平衡形式中，拱单纯受压，拱轴保持为圆形；在新

7、的平衡形式中，拱轴不再保持为圆形，出现压弯组合变形。再如图9-2（c）所示悬臂窄条梁，在原始平衡形式中，梁处于平面弯曲状态；在新的平衡形式中，梁处于斜弯曲和扭转状态。9.1.2极值点失稳图9-3（a）、（b）分别为具有初曲率的压杆和承受偏心荷载的压杆，它们称为压杆的非完善体系。图9-3极值点失稳（a）有初弯曲的压杆；（b）偏心荷载压杆；（c）P-Δ曲线图9-3（a）、（b）中的非完善压杆从一开始加载就处于弯曲平衡状态。按照小挠度理论，其P-Δ曲线如图9-3（c）中的曲线OA所示。在初始阶段挠度增加较慢，以后逐渐变快

8、，当P接近中心压杆的欧拉临界值Pe时，挠度趋于无限大。如果按照大挠度理论，其P-Δ曲线由曲线OBC表示。B点为极值点，荷载达到极大值。在极值点以前的曲线段OB，其平衡状态是稳定的；在极值点以后的曲线段BC，其相应的荷载值反而下降，平衡状态是不稳定的。在极值点处，平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡。这种失稳形式称为极值点失稳。其特征是平衡形式不出现分支现象，而