等价无穷小替换定理本质及推广

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1、等价无穷小替换定理本质及推广　　摘要：通过等价无穷小的认知、分析，指出了等价无穷小替换定理的本质是将无穷小的基本初等函数替换为无穷小的幂函数，将等价无穷小替换定理由乘积推广到了和差运算，建立了新的定理。　　关键词：基本初等无穷小；等价；初等无穷小；幂函数　　中图分类号：G642.3文献标志码：A文章编号：1674-9324（2014）30-0106-03　　文[1～7]给出了无穷小的定义、无穷小的阶以及等价无穷小替换定理的各种不同变形，讨论了等价无穷替换定理的各种应用。本文说明了等价无穷小替换定理的本质――用幂函数等价替换初等无穷小，并在此基础上

2、将等价无穷小替换定理的应用范围由乘法运算推广到和差运算。　　一、初等无穷小的定义和性质　　众所周知，当x→0时sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均为无穷小，而且与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。为了描述方便，作如下定义：　　定义称时sinx，arcsinx，tanx，arctanx，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）为当x→0时的基本初等无穷小。　　性质1x→0时的基本无穷小均与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。　　性质2基本初等无穷小复合运算后所得的初

3、等无穷小λxm（λ，m∈6R且λ≠0，m>0）等价。　　证设α（x）、f（x）均为x→0时的基本初等无穷小，且α（x）～λ1x■，f（x）～λ2x■（λ1?λ2≠0，m1>0，m2>0），则　　■■=■■?■=1　　即f（α（x））也为x→0时的初等无穷小，且f（α（x））～λ■λ■■x■，令λ=λ■λ■■，μ=m1m2，则f（α（x））～λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。即基本初等初等无穷小复合运算后所得的初等无穷小也与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）等价。　　性质3设α，β为x→0时的基本初等无穷小，且α～λ1x■，β～μ1x■（λ1

4、?μ1≠0，m1>0，n1>0）.则（1）m1>n1时，α±β～±μ1x■；（2）m10，n1>0）.则

5、αβ～λ1μ1x■。6　　利用等价的传递性和罗比达法则等运算可以得到连续可导的无穷小都能找到与之等价的幂函数λxm（λ，m∈R且λ≠0，m>0）。　　如：x→0时，lncosx=ln[（cosx-1）+1]～cosx-1～-■x2；　　esinx-etanx=etanx（esinx-tanx-1）～etanx（sinx-tanx）～etanxtanx（1-cosx）～-■x3　　二、等价无穷小替换定理的推广　　等价无穷小替换定理[8]在自变量的同一变化过程中，设α～α1，β～β1，且lim■存在，则lim■=lim■。　　等价无穷小替换定理的本质

6、是在求极限时用幂函数替换各种初等无穷小。　　等价无穷小替换定理是计算极限的一个重要而有力的工具。在极限运算中，等价无穷小替换定理能降低题目难度，减少运算步骤，使得求极限问题变得生动有趣。但是该定理要求整体替换，即只能替换乘积因子。在和差运算中，并非所有的极限都不能使用等价无穷小替换定理，有的可以，有的不可以。在什么情况下，和差运算中能够使用等价无穷小替换定理的研究很有必要。　　定理设x→0时α，β，γ是无穷小，且α～λxm，β～μxn■，γ～sxt（λ?μ?s≠0，m>0，n>0，t>0）。　　（1）若m>n，则■■=0，n>t■，n=t∞，n<

7、t；　　（2）若mt■，m=t∞，mt■，m=t∞，mt■，m=t∞，mn，则■■=■■=■■=0，n>t■，n=t∞，nt■，m=t∞，mt■，m=t∞，m

8、目的结构，其次寻找函数中的与各因子等价的幂函数λxm，λxn，sxt，然后比较幂指数m，n，t，再利用定理进行运算。比较幂指数m，n，t