麦克斯韦方程组、电磁场的边界条

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1、2.6麦克斯韦方程组2.7电磁场的边值关系1、了解麦克斯韦方程组的建立过程，掌握它的基本性质；2、了解边界上场不连续的原因，能导出电磁场的边值关系；3、掌握电磁场方程微分形式和边界形式的联系与区别。重点：1)麦克斯韦方程组的基本性质;2)电磁场的边值关系难点：电磁场切向边值关系的推导讲授法、讨论2学时2.6麦克斯韦方程组（Maxwell’sEquations）一、麦克斯韦方程稳恒情况1、库仑定律2、毕奥－沙伐尔定律麦克斯韦理论两对矛盾的解决？实验定律3、法拉第电磁感应定律缓变情况4、电荷守恒定律1865年发表了关于电磁场的第三篇论文

2、：《电磁场的动力学理论》，在这篇论文中，麦克斯韦提出了电磁场的普遍方程组，共20个方程，包括20个变量。直到1890年，赫兹才给出简化的对称形式：上式即为真空中的麦克斯韦方程组，其中（2）（4）含有对时间的偏导数，对应运动方程，（1）（3）为约束方程。二、麦克斯韦方程组的基本性质1、线性性麦克斯韦方程组是一组线性方程，表明场服从迭加原理。2、自洽性方程组各个方程彼此协调，且与电荷守恒定律协调。如（2）式和（3）式一致：由（2）式有：，考虑到静磁时,所以取。又如（1）式和（4）式是一致的，且联立（1）(4)可以得到电荷守恒定律。3、独

3、立性即麦克斯韦方程组中任一方程，都不可能由其余的方程推导出来。4、对称性（只作简单介绍）无源区（自由场）：,麦克斯韦方程可以写为：如对方程中的场量作如下代换：（）则上述麦克斯韦方程变为：上式表明自由空间的麦克斯韦方程组的形式不变（只是方程的次序发生了改变），即如果存在，则也必存在，并称为的对偶场。有源区：，无对偶不变性（对称性破缺），其根源在于方程中源的不对称，即不存在磁荷。但若引入（磁荷）和（磁流），使方程变为：则可对场和源进行对偶变换，而使方程的形式不变：场：源：；例如：对（2）式进行变换，有：注意到，化简得：与（4）式一致，这

4、表明对应场，一定存在对偶场。5、完备性（不作证明，有兴趣的学生自己证明）完备性是指给定电荷、电流分布和相应的初始条件和边界条件后，方程组能给出唯一正确的解。证明：用反证法如果有两个不同的解、同时满足麦克斯韦方程和相应的初始条件、边界条件。设、,显然，它们满足无源自由空间的麦克斯韦方程。即：,，,及齐次边界条件：和齐次初始条件：。因此，对应的体系是无源的、无初始扰动、边界上值恒为零的体系。对于这样一个电磁场，我们来计算如下积分：由于体系的边界不随时间改变，所以上述积分可以化为：由于边界上，所以。因此又因初始时，所以这个常数为零。但等式

5、左边的被积函数恒大于或等于零，因此得到：即,6、预见性即预言了电磁波的存在。事实上，由无源区的麦克斯韦方程，有：对上式两边取旋度，有：将及代入上式，有：（）同理可得：与经典的波动方程比较：一维：三维：可以看出和满足波动方程，为电磁波的速度。三、媒质的本构关系当有媒质存在时，麦克斯韦方程组还不够完备（12个未知数，8个标量方程），需要补充描述媒质特性的方程。对于各项同性的线性介质，有：此时，麦克斯韦方程组写为：称为麦克斯韦方程组的限定形式。例题2.6.1讲解要点1）分析电路，针对电路说明位移电流和传导电流产生的原因、存在的区域及引起的

6、效应；2）根据已知条件，计算位移电流和传导电流；3）求电流激发的磁场（导线附近，导线可以视为无限长）例题2.6.2讲解要点1）讲明题目的意思：是电场强度矢量，一定要满足麦克斯韦方程组；2）在无源区，变化的电场和磁场相互激发，已知矢量，就可以根据麦克斯韦方程组求出磁矢量（）。2.7电磁场的边值关系在介质分界面上，若存在自由面电荷、面电流分布或由于极化、磁化而出现面电荷和面电流分布，则场量在面上变得不连续，微分形式的麦克斯韦方程不在适用，需要根据积分形式的麦克斯韦方程来讨论边界上的场关系。Gauss定理Stocks定理一、边值关系的一般

7、形式1、磁场强度的边值关系设分界面的法向单位矢为（指向媒质1），是沿分界面的切向单位矢，平行边界作一小扁回路，并令此回路与分界面正交且其长边与界面平行，如图由，有：所以：上式表明，当分界面上有自由电流分布时，磁场强度的切向分量是不连续的。上式中都与回路的选取有关，利用可得：或上式对任意回路都成立，因而有：2、电场强度的边值关系将上图中的磁场强度改为电场强度，由于考虑到是有限量，同理可以得到：即电场强度的切向分量是连续的。问题：电位移矢量的切线分量连续吗？3、电位移矢量的边值关系介质2介质1选右图所示的扁圆柱形封闭合面，由有：式中，且

8、是比更高阶的无穷小，因而有：即：特例：当时，电位移的法向分量连续。问题：的法向分量连续时，的法向分量连续吗？为什么？4、磁感应强度的边值关系对于磁场，把应用到边界区域上，同理得到：即磁感应强度的法向分量连续、无跃变。问题：的法向分量连