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1、高中数学论文立足转化，以简驭繁 摘要正方体是学生最早接触和最熟悉的空间图形,它是立体几何的精髓，也是立体几何教学的一个关键突破口.充分挖掘它的教育功能，对提高学生创造性地发现、分析和解决问题的能力是非常有益的.本文利用正方体的特殊性质，采取“回、补、割、构、化”正方体来求解立体几何题,可以使复杂问题简单化.关键词立体几何正方体立足转化以简驭繁经常听到这样的抱怨声：“立体几何太难学了”，“很多问题实在是想不到啊”.对学生来说，立体几何一向是难学的内容.难学的原因主要有两个：一是立体几何涉及的关系比较多（表现为概念多、定理多）,这些关系
2、之间的转化又很灵活，常常体现出较高的技巧性；二是立体几何的直观图形不像平面几何图形那样给学生提供全真的视觉信息（如两条看似相交成钝角的直线可能是互相垂直的异面直线），这就需要学生充分发挥空间想象，克服视觉的直观干扰.而突破上述两大难点的关键之一是抓好正方体的研究.正方体中的问题和与正方体有关的问题，如果利用“回、补、割、构、化”的方法求解，有时会比利用向量求解还要简捷.一、回所谓“回”，即回归到原来的地方.立体几何图形是由点、线、面构成的,而点在线上，线在面内,这是一种回归的体现.在立体几何教学中,仅凭直观感知和空间想象,学生有时不
3、易找到解决问题的规律和方法.回归思想不仅能让学生从整体的角度把握空间几何体的性质,更能让他们在这种思想的指导下,有效地解决立体几何问题,感受立体几何的魅力.例1：已知a，b为两条不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在平面α上的射影有可能是:①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．上面四个结论中，正确的结论的序号是_________面对这个问题，有的同学手拿钢笔和铅笔在桌面上演示，也有同学利用教室空间指指点点，虽然给出了答案，但总觉得不够放心.固然，借助学习用具，利用周围环境，这些都是解立体几何题
4、的好方法，但是是否有更保险、更快捷的方法呢？答案是肯定的.我们可以把线，面回归到正方体中，通过对图1、图2和图3的观察，我们可以直观地发现选项①②④都是正确的，而③不正确.若a，b在平面α上的射影为同一条直线，因为与平面α相交且经过这条直线的垂直平面有且只有一个，所以此时的a，b为两条共面线,与条件“异面直线”不符合.9例2：已知a，b是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题中正确的是()分析：把有关元素回归到正方体中.如图，对于A,设为平面ABCD,a为AB，b为A1Bl，则a，故A错.对于B，设为平面ABCD,为平面AB
5、B1A1,b为CD，则平面ABCD与平面ABB1A1相交，故B错.对于D，设为平面ABCD，a为AB，b为A1D1，此时a与b异面，故D错.所以C正确.感悟：以上两例是以空间点线面位置关系为考点,考查了空间想象能力、推理能力和探究能力.属于“命题判断”型试题,此类题型分为单一判断、多项判断和构造命题判断,是各地模考和高考的命题热点.解决策略：当题目没有给出具体的图形,只是给出了相关点、线、面的关系(如平行、垂直等)，要判断某些元素的位置关系时，通常可考虑回归到正方体模型中.把这些线、面变成正方体中的线段或某一面，逐个判断.这样可以使
6、问题更为直观，更便于同学们判断.在立体几何中,回归思想是处处可见的.如处理棱台、圆台问题时我们通常会回归到棱锥和圆锥来解决；而遇到一些锥体时又会回归到柱体.回归思想也是一种追溯本源的思想,它能让我们更清楚地看清事物的本质,以便指导我们更有效地解决问题.二、补所谓“补”，就是根据题目的需要，通过补形，将不是正方体的几何体补为正方体，聚零为整，居高临下地处理问题.常见题型有把正四面体补成正方体，将三棱锥，四棱锥补成正方体，将三棱柱补成正方体….例3:过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB=PA，则平面PAB与平面CDP
7、所成二面角的度数为（）9A.90°B.60°C.45°D.30°分析：求二面角的常规求法是先作出它的平面角，而本题中的二面角是一个“无棱二面角”，要作出它的平面角有一定的难度.巧思妙解：把原四棱锥补成正方体.如图所示，连接CQ，则所求二面角转化为平面CDPQ与平面BAPQ所成的二面角，而∠CQB是二面角的平面角，所以有∠CQB=45°.故平面PAB与平面CDP所成二面角的度数为45°.选C.例4：如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面S
8、BC.(1)证明：SE=2EB;(II)求二面角A-DE-C的大小.分析:(1)略.(2)思路1:作EH//AB交AS于点H，连DH，则平面EDC即为平面HECD，二面角A-DE-H与二面角A-DE-C互补.作AMDH于M，则AM面H
