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《数值积分的计算方法论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、数值积分本文应用插值积分法和逼近论的思想，简单重述了推导Newton-Cotes公式和Gauss-Legendre求积公式的过程，以及这两个公式的系数、精度等问题。并以这两种数值积分的求解方法为基础，应用quad、guass函数编写具体Matlab程序，通过计算机软件计算出所给题目的近似数值积分。对二者所得的结果进行比较，从而研究了用Newton-Cotes和Gauss-Legendre公式求积分的方法和二者的精确度问题。得知，这两种求积公式所得的结果在精度上的确存在差异，结合理论部分更加充分地说明了，n相同时Gauss-Legendre公式比
2、Newton-Cotes公式具有更高的代数精度，但当代数精度相同时，二者计算的结果仍存在细微的差异。理论依据逼近论——构造一个简单函数p(x)近似表示f(x),然后对p(x)求积分得到f(x)的积分的近似值。基于插值原理，推导出数值积分的基本公式。§1插值求积公式为了用数值方法求，对被积函数f(x)在给定的n+1个节点上作Lagrange插值，用插值函数Pn(x)代替f(x)，就可用I（Pn(x)）构造求积公式，近似地计算定积分I(f(x))。§2Newton—Cotes公式§2.1Newton—Cotes公式的推导当§1.1插值求积公式的插值
3、节点为等距节点时，就得到Newton—Cotes公式。将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为xk=a+kh(k=0,1,…,n)在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：用Pn(x)代替f(x)构造求积公式：记，(k=0,1,…,n)作代换x=a+th带入上式，变为：其中：(k=0,1,…,n)（1-1）这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。只要确定n就能计算出系数。于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式：（1-2）其中称为Newton—Cotes系数。如表1所示。表1Newton—Cotes
4、系数n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/9012/9032/907/90519/28825/9625/14425/14425/9019/288641/8409/359/28034/1059/2809/3541/840§2.2Newton—Cotes公式误差和稳定性在积分公式中用插值多项式Pn(x)代替f(x)的插值误差是因此，Newton—Cotes公式的截断误差是（1-3）讨论舍入误差对计算结果产生的影响，设（1-2）式近似计算其中计算函数值f(xn)有误差值（k=0,1,2,…,n）。在（1-2）式
5、中令设计算无误差，舍入误差也忽略，则，由（1-2）式计算时引式的误差为如果皆为正，并设，则，故有界，即引起的误差受控制，不超过倍。保证了数值计算的稳定性。但当n8时，将出现负数，这时，数值计算的稳定性不能保证，所以节点超过8时Newton—Cotes公式不能用。当n为偶数时，Newton—Cotes积分公式具有n+1次代数精度。§2.3经典Newton—Cotes公式当n=4,5点公式称为经典Newton—Cotes公式其中(k=0,1,…,4)，它具有5次代数精度。§3Gauss-Legendre求积公式在积分区间[a,b]内对积分节点不作限
6、制，不取等距，积分节点和求积系数都作为待定未知量。通过适当选择节点和求积系数，能构造更有效的高精度求积公式。§3.1计算n阶求积公式若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有而。§3.2Gauss求积公式的基本原理更一般形式：（2-1）为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：（2-2）积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss点，（2-2）式称为Gauss求积公式。§3.3Gauss-Legendre求积公式求积分，权数=1，其中（i=0，1，…，n）是n+1阶Legendre多项式的零点，求积系数为
7、：（i=0，1，…，n）具体Gauss-Legendre公式的插值节点和系数见表2（其中n为插值节点个数，为积分点，为对应积分点的系数）。表二Gauss-Legendre公式的插值节点和系数对一般区间[a,b]上的积分，通过代换：将转换到。再用Gauss-Legendre求积公式：进行积分求解第1章问题描述用Newton—Cotes公式、Gauss-Legendre求下列积公式计算积分，并比较结果：第2章问题分析题目给出的是用Newton—Cotes公式、Gauss-Legendre求积分的问题，为了实现题目要求，应编写Matlab程序，实现计
8、算被积函数在积分区间[0,1]的积分，得到最终结果。最后将二者得到的结果进行比较，得出关与Newton—Cotes公式、Gauss-Legendre求
