函数的可导性和连续性的关系教（学）案

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1、函数的可导性与连续性的关系教案　　教学目的　　1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件．　　2．使学生了解左导数和右导数的概念．　　教学重点和难点　　掌握函数的可导性与连续性的关系．　　教学过程　　一、复习提问　　1．导数的定义是什么？　　　　　　　　　　2．函数在点x0处连续的定义是什么？　　　　在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x0处连续必须具备以　　　　　　　　　　　　∴f(x)在点x0处连续．　　　　综合(1)(2)原命题得证．　　在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连

2、续性的关系．　　二、新课　　1．如果函数f(x)在点x0处可导，那么f(x)在点x0处连续．　　　　　　　　　　　　∴f(x)在点x0处连续．　　提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x0处一定可导吗？为什么？若不可导，举例说明．　　如果函数f(x)在点x0处连续，那么f(x)在该点不一定可导．　　例如：函数y=

3、x

4、在点x＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y＝f(x)在点O(0，0)处没有切线．　　证明：(1)∵Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝

5、0＋Δx

6、－

7、0

8、=

9、Δx

10、，　　　　∴函数y=

11、x

12、在点x0处是连

13、续的．　　　　　　　　2．左导数与右导数的概念．　　　　(2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明)．　　(3)函数在一个闭区间上可导的定义．　　如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内可导，在左端点x＝a处存在右导数，在右端点x＝b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导．　　三、小结　　1．函数f(x)在x0处有定义是f(x)在x0处连续的必要而不充分条件．　　2．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处有极限的充分而不必要条件．　　3．函数f(x)在x

14、0处连续是f(x)在x0处可导的必要而不充分的条件．　　四、布置作业　　　　　　作业解答的提示：　　　　　　　　　　　　　　=f(1)．　　∴f(x)在点x＝1处连续．　　　　　　　　∴f(x)在x=1处不可导．