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时间:2018-11-07
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1、把握核心概念提高解题能力 三角函数是刻画客观世界变化规律的基本数学模型,它的周期性能够有效地刻画变化规律.三角函数性质丰富,除具有一般函数的各种性质外,还具有对称性、周期性及有界性等.在各类考试中,由于三角函数容易与其他知识板块结合,使问题在表现形式上变化多端.同时,由于三角函数是高中数学的主干知识之一,也是高等数学的重要基础.所以,在高考中占有重要地位,是高考的重点和热点. 近几年全国各省市高考试题中,有关三角函数的内容平均有20多分,约占总分的15%.试题包括一道考查基础知识的选择题或填空题和
2、一道考查综合能力的解答题.解答题多考查三角化简和三角函数性质中的单调性、周期性、最值等问题.本文着重分析高考题和模拟题中有关三角函数的各类解答题,主要剖析命题切入点,围绕解三角函数解答题的方法思路,总结一些规律,供读者参考. 一、重视对三角函数定义的考查 例1如图,在平面直角坐标系xOy中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点. (Ⅰ)若点A的横坐标是35,点B的纵坐标是1213,求sin(α+β)的值; (Ⅱ)若
3、AB
4、=32,求OA?OB的值. 【分析】本题第(Ⅰ)问直接考查三
5、角函数的定义,根据定义求得9α,β的正弦、余弦值.之后通过两角和的正弦公式展开,代入就可以求出结果.而第(Ⅱ)问求OA?OB的值的时候,除了下面解析中的定义法以外,也可以通过余弦定理求解. 【解】(Ⅰ)根据三角函数的定义知, cosα=35,sinβ=1213. ∵α的终边在第一象限,∴sinα=45. ∵β的终边在第二象限,∴cosβ=-513. ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ =45×(-513)+35×1213=1665. (Ⅱ)∵
6、AB
7、=
8、AB
9、=
10、OB
11、-OA
12、,
13、OB-OA
14、2=OB2+OA2-2OA?OB =2-2OA?OB,∴2-2OA?OB=94, ∴OA?OB=-18. 【点评】三角函数定义对学生而言既熟悉又陌生,熟悉是因为有锐角三角函数定义的基础,理解不难;陌生是因为学过以后用得比较少,见面次数少了自然陌生.本题应用三角函数定义容易得α,β的正弦、余弦值,但是如果考生从解三角形入手,则会使本题变难,从而走不少弯路. 二、三角求值注意角的范围限制 例2(2013年湖南卷)已知函数f(x)=sin(x-π6)+cos(x-π3)
15、,g(x)=2sin2x2. (Ⅰ)若α是第一象限角,且f(α)=335,求g(α)的值; (Ⅱ)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.9 【分析】本题主要考查简单三角求值以及三角不等式求解,求解此题的关键是利用好降幂公式、辅助角公式等,对已知函数关系式进行先化简,之后再根据三角函数图象或三角函数线的变化趋势去求解. 【解】(Ⅰ)因为f(x)=32sinx-12cosx+12cosx+32sinx=3sinx, 所以f(α)=3sinα=335, 从而sinα=35,α∈(0,π2).
16、 因为sin2α+cos2α=1,得cosα=45,且g(α)=2sin2α2=1-cosα=15. (Ⅱ)f(x)≥g(x)?3sinx≥1-cosx?32?sinx+12cosx=sin(x+π6)≥12?x+π6∈[2kπ+π6,2kπ+5π6]?x∈[2πx,2πx+2π3],k∈Z. 【点评】本题不难,但是考生在由sinα=35求得cosα=45时,千万要注意α∈(0,π2),否则余弦应该有正、负两个取值了.此外,就是三角函数的相关公式必须熟练掌握. 三、辅助角公式要灵活应用 例3
17、(2013年天津卷)已知函数f(x)=-2sin(2x+π4)+6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值. 【分析】本题主要考查两角和与差的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及辅助角公式.还包括三角函数的最小正周期、单调性等基础知识,需要考生熟练掌握相关公式和基本的运算求解能力. 【解】(Ⅰ)f(x)=-2sin2x?cosπ4-2cos2x?sinπ4+3sin2x-cos2x=2sin2x-2co
18、s2x=22sin(2x-π4).9 所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π. (Ⅱ)因为x∈[0,π2],所以2x-π4∈[-π4,3π4],则sin(2x-π4)∈[-22,1],所以,当2x-π4=π2,即x=3π8时,f(x)的最大值为22;当2x-π4=-π4,即x=0时,f(x)的最小值为-2. 【点评】所谓辅助角公式,其实就是两角和与差的正、余弦公式的逆用.显而易见,逆用公式比正用公式在理解上有困难,所以建议读者在做这类题的时候,不
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