数学分析课后答案.pdf

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1、数学分析答案第一章实数集与函数§1实数1、设a为有理数，x为无理数，试证明：⑴ax是无理数.⑵当a0时，ax是无理数.证：⑴假设ax是有理数，则(ax)ax是有理数，这与题设x为无理数相矛盾，故ax是无理数.ax⑵假设ax是有理数，则x为有理数，这与题设x为无理数相矛盾a故ax是无理数.1、试在数轴上表示出下列不等式的解：2⑴x(x1)0；⑵⑶2、设a、bR.证明：若对任何正数有ab，则ab.证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有ab或ab;若ab,则又由绝对值定义知:

2、abab.令ab,则为正数,但这与abab矛盾;若ab,则又由绝对值定义知:abba.令ba,则为正数,但这与abba矛盾;从而必有ab.13、设x0,证明x2,并说明其中等号何时成立.x1111证:因x与同号,从而xx2x2,xxxx1等号当且仅当x,即x1时成立.x数学分析答案4、证明:对任何xR,有⑴x1x21；⑵x1x2x32证:⑴因为1x11x1x2,所以x1x21.⑵因为2x3x1

3、x1x2,所以x1x2x3222225、设a、b、cR(R表示全体正实数的集合),证明:abacbc2222证:对任意的正实数a、b、c有2abca(bc),44242222222422两端同时加abc,有abc2abcabacabc,222222即(abc)(ab)(ac)222222a2(ab)(ac)2bc,222222两端再同加bc,则有abacbc其几何意义为:当bc时,以(a,b),(a,c),(0,0)三点为顶点的三角形,其

4、两边之差小于第三边.当bc时,此三角形变为以(a,c),(0,0)为端点的线段,此时等号成立axa6、设x0,b0,且ab,证明介于1与之间.bxbaxbaaxax(ba)证:因为1,,且x0,b0bxbxbxbb(bx)axa所以当ab时,1;bxbaax当ab时,1;bbxaxa故总介于1与之间.bxb数学分析答案7、设p为正整数,证明:若p不是完全平方数,则p是无理数m证:假设p是有理数,则存在正整数m、n使p，且m与n互素.n222于是npm.可

5、见n能整除m.由于m与n互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u、v使munv1.2从而mumnvm2因n能整除m,又能整除mnv,故能整除其和,于是n可整除m,这样n12因此pm.这与p不是完全平方数相矛盾,故p是无理数8、设a与b为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：2⑴xaxb；⑵xaxb；⑶xab.abab解:⑴原不等式等价于11这又等价于02xbxbxbxb即或0ab2x2b0ab2x2bx

6、bxbabab即x或x22ababab故当ab时,不等式的解为x2ab当ab时,不等式的解为x2当ab时,不等式无解.xbxb⑵原不等式等价于且xaxbaxxbxbxb即且ababx21b故当ab时,x;当ab时,不等式无解.2数学分析答案⑶当b0时,显然原不等式无解,2当b0时原不等式等价于abxab因此①当ab0或b0时,无解②当ab0且b0时,有解Ⅰ如果ab,则解为ab

7、xab即abxab或abxabⅡ如果ab,则解为xab即abxab