算术平均数与几何平均数(2)

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1、第六章第二讲时间：60分钟　满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．(2009·武汉模拟卷)下列不等式的证明过程正确的是(　　)A．若a、b∈R，则＋≥2＝2B．若a∈R，则2a＋2－a≥2＝2C．若a、b∈R＋，则lga＋lgb≥2D．若a∈R－，则a＋≥－2＝－4答案：B解析：对于A，＞0即ab＞0时才能成立，而a，b∈R，故A不正确；对于B，a∈R时，2a＞0,2－a＞0.∴B正确；对于C，当a，b∈R＋时，lga、lgb不能确定一定是正数；对于D，a＋≤－4.2．下列函数中，最小值为2的函数是(　　)A．y＝x＋B．y＝sinθ＋cosθ(0＜θ＜)C．y＝si

2、nθ＋cosθ(0＜θ＜π)D．y＝答案：D解析：(排除法)答案A中x的正负无法确定，答案B、C中y＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋)≤，∴只能选D.(直接法)y＝＝＋≥2(当且仅当＝，即x＝0时取等号，)∴选D.3．已知正数x，y满足x＋2y＝1，则＋的最小值为(　　)A．6　　　B．5　　　C．3＋2　　　D．4答案：C解析：∵x＋2y＝1，∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2.4．(2009·重庆一中)函数y＝(x＞1)的最小值是(　　)A．2＋2B．2－2C．2D．2答案：A解析：∵y＝＝，∵x－1＞0，∴x－1＋＋2≥2＋2，当且仅当x－1＝时取“＝”，即x＝1±时取“＝”．

3、又∵x＞1，∴x＝1＋时取等号．5．(2009·黑龙江大庆一模)设M＝(－1)(－1)(－1)，且a＋b＋c＝1(a、b、c∈R＋)，则M的取值范围是(　　)A．[0，]B．(，1)C．[，1]D．[8，＋∞)答案：D解析：由M＝(－1)(－1)(－1)＝··＝··≥··＝8，故选D.6．(2009·天津，9)设x，y∈R，a＞1，b＞1.若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为(　　)A．2B.C．1D.答案：C解析：∵ax＝by＝3，∴x＝loga3，y＝logb3，∴＋＝＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3＝log33＝1，故选C.7．设0＜x＜1，a

4、，b都为大于零的常数，则＋的最小值为(　　)A．(a－b)2B．(a＋b)2C．a2b2D．a2答案：B解析：＋＝(＋)[x＋(1－x)]＝a2＋b2＋＋≥a2＋b2＋2＝(a＋b)2，故选B.8．已知m，n，s，t∈R＋，m＋n＝2，＋＝9，其中m，n是常数，且s＋t的最小值是，满足条件的点(m，n)是椭圆＋＝1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为(　　)A．x－2y＋1＝0B．2x－y－1＝0C．2x＋y－3＝0D．x＋2y－3＝0答案：D解析：由已知得s＋t＝(s＋t)(＋)＝(m＋n＋＋)≥(m＋n＋2)＝(＋)2，又s＋t的最小值是，因此(＋)2＝，＋＝2，又m＋n＝

5、2，所以m＝n＝1.设以点(m，n)为中点的弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，则有＋＝1，＋＝1，两式相减得＋＝0　①，又点(1,1)是该弦的中点，因此有＝＝1，x1＋x2＝y1＋y2＝2　②，把②代入①得＝－，即所求直线的斜率是－，所求直线的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.总结评述：在求解有关二次曲线的以某个已知点为中点的弦所在的直线方程时，注意利用“点差法”来确定相应直线的斜率．二、填空题(4×5＝20分)9．(2009·吉林长春一模)若正数a、b满足＋＝2，则ab的最小值为________．答案：4解析：∵a、b都为正数．∴2＝＋≥

6、2＝，∴ab≥4.10．已知a，b，c∈R＋，则(a＋b＋c)(＋)的最小值是________．答案：4解析：∵(a＋b＋c)(＋)＝[(a＋b)＋c](＋)＝1＋＋＋1＝2＋(＋)，又∵a，b，c∈R＋，∴＋≥2.∴(a＋b＋c)(＋)≥4.∴最小值为4.11．(2009·浙江宁波名校一模)已知圆C：x2＋y2＋bx＋ay－3＝0(a，b为正实数)上任意一点关于直线l：x＋y＋2＝0的对称点都在圆C上，则＋的最小值为________．答案：1＋解析：由题意知直线l过圆心(－，－)，∴－－＋2＝0，即a＋b＝4，∴＋＝1，∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋＋＝1＋(＋)≥1＋.12．(

7、2009·江苏南通二模，6)在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，使等式成立且这两个自然数的和最小：1＝＋，所填自然数分别为________．答案：4,12解析：设这两个自然数为a，b，则1＝＋，a＋b＝(a＋b)(＋)＝10＋＋≥16，当且仅当b＝3a时取等号，此时求得a＝4，b＝12，故填4,12.三、解答题(4×10＝40分)13．解下列问题：(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；(2)已知x＞2，求x＋的最小值；(3)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求＋的最